Свойства интегрируемых функций

Теорема 6. Если функция f (x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке .

□ Пусть ε > 0 произвольное число. Поскольку f (x) интегрируема на , то существует разбиение Т, такое что

(10)

Если разбиение , получено по разбиению Т добавлением точек , а - разбиение образованное точками разбиения , принадлежащему отрезку . Тогда

.

Оценки верны, поскольку в последнем неравенстве первая сумма содержит неотрицательные слагаемые, соответствующие разбиению , а вторая – слагаемые, соответствующие разбиению , причем каждое слагаемое первой суммы входит во вторую сумму. Действительно, поскольку , в силу (10) и свойства 2 сумм Дарбу имеем:

.

Тогда по критерию интегрируемости, f (x) интегрируема на . ■

Теорема 7. Пусть . Тогда, если f (x)интегрируема на отрезках и , то она интегрируема на отрезке , причем

(11)

□ Пусть , Т - разбиение , образованное точками разбиений и отрезков и . По критерию интегрируемости разбиения и можно выбрать так, чтобы

и .

Очевидно, что и, следовательно,функция интегрируема по критерию интегрируемости.

Теперь докажем (11). Интегральную сумму для построенного разбиения Т можно записать .

Переходя здесь к пределу при (при этом , ), получим доказываемое равенство (11). ■

Формула (11) остается справедливой, если на отрезок [ a,b ] разбит на большее, чем два отрезка. Эта теорема называется свойством аддитивности определенного интеграла.

Теорема 8. Если f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке , тогда их сумма также интегрируема на и справедливо равенство:

. (12)

□ отрезка и при любом выборе точек имеем

.

В силу интегрируемости f(x) и g(x) существуют пределы интегральных сумм, стоящих в правой части, поэтому существует и предел левой части при h (Т) → 0 и по определению определенного интеграла получим (12). ■

Теорема 9. Пусть f (x) интегрируема на и А - постоянная. Тогда функция Аf (x) также интегрируема на отрезке , причем

.

□ Доказательство следует из равенств:

. ■

Теорема 10. Пусть функции f (x) и g (x) определены на , причем f (x) интегрируема на , а g (x) отличается от f (x) в конечном числе точек. Тогда справедливо равенство:

.

□ Рассмотрим функцию . Очевидно на за исключением конечного числа точек, которые обозначим . Положим . Пусть Т - разбиение. Тогда каждая из точек принадлежит не более, чем двум отрезкам () одновременно, а на остальных отрезках , то для любого разбиения Т отрезка , при любом выборе точек имеем: .

Переходя в этом неравенстве к пределу при h (Т) → 0 получим:

.

В силу Т.8 функция интегрируема на и

. ■

Замечание. Определенный интеграл можно определить и для функций, заданных всюду на отрезке , за исключением конечного числа точек этого отрезка. Если доопределить функцию в этих точках произвольным образом, мы получим функцию, интегрируемую по Риману. В силу теоремы, интеграл не зависит от того какое значение принимает подынтегральная функция в этих точках.

Теорема 11. Если функции f (x) и g (x)интегрируемы на , то их произведение также интегрируемо на отрезке .

□ Без доказательства.

Теорема 12. Если функция f (x)интегрируема на и , то

. (13) □ Т.к. , то отрезка и при любом выборе будет справедливо неравенство . Переходя к пределу h (T) 0 получим (13). ■

Следствие. Если и функции интегрируемы, то .

Теорема 13. Если f (x) интегрируема на отрезке , то также интегрируема на и выполняется неравенство:

.

□ Из неравенства следует, что колебание функции на отрезке не меньше колебания функции на этом же отрезке, т.е. . Т.к. f (x) интегрируема, то . Тогда для разбиения Т получим , т.е. интегрируемая. Пусть теперь Т - произвольное разбиение отрезка , тогда,по свойству абсолютной величины имеем:

.

Переходя к пределу h (T) 0получим (13), в силу теоремы сравнения для пределов. ■

Замечание. Из интегрируемости на не следует интегрируемость f (x). Например, функция , где - функция Дирихле, не является интегрируемой на т.к. не интегрируется, а функция интегрируемая.

Tеорема14. Если и функция f (x)интегрируема на , то , если , то .

□ Пусть Т некоторое разбиение . Обозначим

.

Тогда

;

- . ■

Классы функций, интегрируемых по Риману. Выясним, какие функции можно интегрировать по Риману.

Теорема 15. Непрерывная на отрезке функция f (x) интегрируема по Риману на этом отрезке.

□ В силу теоремы Кантора, непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна па этом отрезке, т.е. , что на любом отрезке , для которого , колебание будет удовлетворять неравенству:

< .

Пусть Т разбиение отрезка с шагом . Тогда колебание на удовлетворяет неравенству

.

Для этого разбиения имеем

.

Тогда согласно критерию интегрируемости функция f(x) интегрируема по Риману на . ■

Теорема 16. Ограниченная на отрезке функция f (x), имеющая на конечное число точек разрыва интегрируема на этом отрезке.

□ Вначале рассмотрим случай, когда f (x) имеет единственную точку разрыва, причем точкой разрыва является один из концов отрезка. Пусть это точка а. Обозначим колебание f (x)на . Зададим произвольное положительное число ε. Выберем точку x _1, чтобы .

На отрезке функция непрерывна и следовательно интегрируема по Риману. По критерию интегрируемости найдется такое разбиение отрезка , что . Для разбиения отрезка в силу предыдущего, получим

.

По критерию интегрируемости это означает, что f (x) интегрируема на . Аналогично, если точка разрыва при . Рассмотрим общий случай. Пусть точки разрыва f (x) на (a,b). Выберем точки , так чтобы выполнялось неравенства

. На каждом из отрезков функция интегрируема в силу предыдущего рассуждения, т.к. имеет не более одной точки разрыва. Тогда она интегрируема по Риману и на всем отрезке в силу свойства аддитивности. ■

Функция f (x) называется кусочно-непрерывной наотрезке если она имеет на этом отрезке не более конечного числа точек разрыва 1-го рода. Тогда теорема может быть сформулирована так: кусочно-непрерывная на отрезке функция f (x)интегрируема на нем.

Теорема 17. Монотонная на отрезке функция f (x) интегрируема по Риману на этом отрезке.

□ Для определенности будем считать, что f (x) не убывает. Зададим произвольное . Пусть Т - разбиение с шагом . Очевидно, что в силу монотонности . Поэтому, проверяя критерий интегрируемости, получаем

. ■

Теорема 18. Ограниченная на отрезке функция f (x), имеющая счетное множество точек разрыва, интегрируема по Риману на этом отрезке.

□ Без доказательства.

Таким образом, интегрируемыми по Риману функциями являются следующие функции: непрерывные; ограниченные с конечным числом точек разрыва; монотонные; ограниченные, имеющие счетное множество точек.

Теоремы о среднем для интеграла Римана. Имеют место важные для оценок интегралов теоремы.

Теорема19. Пусть выполняется условия:

1) функции f (x)и g (x) интегрируемы на отрезке ;

2) ;

3) ;

тогда справедлива формула

(14)

□ Произведение интегрируемо на по теореме 11. Тогда, интегрируя почленно неравенство , получим формулу. ■

Следствие. При условиях теоремы, если , справедлива формула:

.

Теорема 20 ( обобщенная теорема о среднем ). Пусть выполняются условия

1) функция f (x) непрерывная на отрезке ;

2) g (x)интегрируема на ;

3) .

Тогда , что справедлива формула среднего значения:

(15)

□ Поскольку функции интегрируемы на отрезке , то справедливы неравенства (14). Если , то из (14) следует, что и формула (15) будет выполняться . Пусть , тогда из (14) получим:

.

Так как f (x) непрерывна на , то по второй теореме Вейерштрасса , такие, что . Тогда

.

В силу теоремы Коши для непрерывных на отрезке функций, непрерывная функция f(x) принимает все промежуточные значения между m и M. Поэтому существует точка

ξ є [ a, b ], в которой будет выполнятся равенство:

.

Откуда следует формула (15). ■

Следствие (теорема о среднем). Если f (x) непрерывна на [ a, b ], то существует ξ є [ a, b ], такая, что

.

Очевидно, что формула следует из (15) при g (x) ≡ 1.

Значение - называется средним значением на[ a, b ].

Замечание. Если f (x) не является непрерывной, то формула (15) в общем случае несправедлива. Действительно, пусть

; ;

;

Однако точки ξ є [0,1], где f () = 2/3 не существует.