Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций

Предварительно введем обозначение рациональной функции от двух переменных и , т. е. функции, получающейся из двух переменных и и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления: Такова, например, функция

Если переменные и , в свою очередь, являются функциями переменной : , то функция называется рациональной функцией от и . Например, функция

является рациональной функцией от и от ; здесь , а функция

является рациональной функцией от и от :

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций (или, как говорят, рационализируются) и могут быть вычислены методами рассмотренными ранее.

1. Интегралы вида , где — некоторые числа ; — натуральное число, — рациональная функция от и от . Покажем, что такой интеграл рационализируется подстановкой . В самом деле,

так что

где — рациональная функция аргумента .

Примеры. 1) Вычислить

Решение. Сделав подстановку , получим

Далее, имеем

2) Вычислить

Решение.

3) .

Решение. Положим , откуда . Следовательно,

 

.

2. Интегралы вида , где — некоторые числа; – рациональная функция переменных и

Если трехчлен имеет вещественные корни и , то

Следовательно,

т. е. получаем интеграл, рассмотренный в п. 1. Если , то

т. е. под знаком интеграла находится рациональная функция от .

Поэтому интересен случай, когда трехчлен не имеет вещественных корней и . Покажем, что в данном случае интеграл рационализируется подстановкой Эйлера:

.

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем , так что

, , .

Таким образом,

,

где – рациональная функция от .

Если же в трехчлене , а , то для рационализации интеграла можно применить другую подстановку Эйлера:

.

Примеры. 1) Вычислить .

Решение. Поскольку трехчлен имеет комплексные корни, сделаем подстановку . Возводя обе части равенства в квадрат, получаем или ; отсюда

, .

Тогда

.

Далее, имеем

.

Умножая обе части равенства на , получаем

,

или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений первой степени относительно :

откуда . Следовательно,

,

и окончательно

.

2) Вычислить .

Решение. Здесь трехчлен имеет комплексные корни и , , поэтому воспользуемся подстановкой . Возводя обе части равенства в квадрат, получаем

или ;

отсюда

, , .

Таким образом,

.

Заметим, что вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.

3. Интегралы вида , где – рациональная функция от функций и .

Покажем, что интеграл рационализируется подстановкой , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Действительно,

,

, ,

так что

,

где – рациональная функция t.

Тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким интегралам от рациональных функций. Поэтому в ряде случаев удобнее использовать другие подстановки.

Если подынтегральная функция является четной относительно совокупности и , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой . Тогда

.

Если подынтегральная функция является нечетной относительно , подстановка , а если подынтегральная функция является нечетной относительно , подстановка .

 

 

Пример. 1) Вычислить .

Решение. Применяя подстановку , получаем

, , .

Таким образом,

.

2) Вычислить .

Решение. Положим . Тогда , и

, где .

3) Вычислить .

Решение. В данном случае проще вычислить интеграл, не прибегая к подстановкам и представив подынтегральную функцию в виде . Тогда

.

В заключение отметим, что рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.

 

6.5. Определённый интеграл (интеграл Римана)

Определение интеграла по Риману. Рассмотрим отрезок [ a, b ] R. Множество точек называется разбиением отрезка [ a, b ]. Разбиение будем обозначать как множество Т ([ a, b ]) . Также обозначим и . Число будем называть максимальным шагом или просто шагом разбиения Т. Очевидно, и .

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a, b ] и Т – разбиение отрезка [ a, b ]. Для каждого i выберем произвольную точку , i = . Выражение называется интегральной суммой для функции f (x) при данном разбиении Т и выбранных точках (i = 1, 2, …, n).

Определение 3. Функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [ a, b ] если существует конечный предел I интегральных сумм при стремлении к нулю шага разбиения h (T), при любом разбиении Т отрезка [ a, b ] и независимо от выбора точек .

Этот предел называется интегралом Римана или определенным интегралом. Обозначение определенного интеграла:

.

Предел понимается в том смысле, что число точек разбиения Т неограниченно растёт при h →0, а точки выбраны произвольным образом. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Пример. Если , то .

Теорема 4. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке.

□ Предположим противное, т.е. пусть f (x) интегрируема, но неограниченна на отрезке [ a, b ]. Пусть произвольное положительное число. Тогда по определению 3, существует число δ=δ(ε)>0, такое, что с шагом h (T)< δ(ε) выполняется неравенство

или .

Отсюда следует, что множество интегральных сумм с этим шагом разбиения ограниченно. Выберем одно из разбиений. Т.к. по предположению f (x) неограниченна на [ a, b ], то существует отрезок на котором f (x) неограниченна. За счёт выбора точки слагаемое , а вместе с ним и вся интегральная сумма может быть сделана сколь угодно большой. Последнее, однако, не возможно, поскольку множество интегральных сумм с шагом h (T) < δ(ε) ограничено. Получили противоречие.

■

Суммы Дарбу и их свойства Пусть f (x) ограниченная на отрезке [ a, b ] функция. - некоторое разбиение отрезка [ a, b ]. Введём следующие обозначения:

 

; ;

; ;

; . (3)

 

Суммы S (T) и s (T) называются соответственно верхней и нижней суммой Дарбу. Очевидно, что : , следовательно

s (T) ≤ или s (T) ≤ σ(T) ≤ S (T). (4)

Вспомним определение точных верхней и нижней граней.

β = sup X: 1) ;

2) x X: β-ε < x ≤ β;

α = inf X: 1) x ≥ α;

2) x X: x < α+ε;

sup X - наименьшее среди всех чисел, ограничивающих множество сверху.

inf X – наибольшее среди всех чисел, ограничивающих множество снизу.

Заметим, что s (T) и S (T) могут не совпадать ни с какими интегральными суммами. Это связано с тем, что f (x) может не принимать и на .

Определение 4. Разбиение Т' отрезка [ a, b ] называется измельчением разбиения Т, если каждая точка разбиения Т содержится среди точек разбиения Т'. Обозначение Т Т '.

Пусть и два разбиения отрезка [ a, b ]. Будем обозначать разбиение, образованное точками разбиений и . Докажем следующие свойства сумм Дарбу.

Свойство 1. Пусть f (x) определена на [ a, b ] и Т исходное разбиение отрезка, тогда справедливы равенства:

.

□ Пусть ε произвольное положительное число. Поскольку , то .Тогда, по определению точной верхней грани, существуют такие , что выполняются неравенства:

(b - a);

i =1,2… n.

Просуммировав эти неравенства, умножаем на и получим:

< ≤ или

S (T) – ε < ≤ S (T), следовательно S (T) = . ■

Аналогично доказывается второе равенство.

Свойство 2. Пусть Т Т', причём Т ' получено из Т добавлением р новых точек деления. Тогда имеют место следующие неравенства:

, (5)

т.е. , но и это означает, что , т.е. верхние суммы Дарбу не возрастают при измельчении разбиения Т, а нижние не убывают на множестве разбиений Т.

□ Поскольку любое измельчение разбиения Т может быть получено последовательным добавлением новых точек разбиения, то свойство достаточно проверить, когда Т ' получено добавлением одной точки х'. Пусть . Очевидно, что

, . (6)

Тогда .

Отсюда следует, что

.

Из полученного соотношения в силу неравенств (6) имеем

.

Для р точек справедливость неравенства следует из того, что при добавлении новой точки последняя оценка удваивается. Аналогично доказываться второе неравенство (5). ■ Свойство 3. Для любых двух разбиений , отрезка и , т.е. любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любую верхнюю сумму Дарбу.

□ Пусть , два произвольных разбиения, тогда

.

В силу свойства 2 и неравенств (4) будем иметь

. ■

Согласно этому свойству, нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние – снизу. Поэтому существуют точные нижняя и верхняя грани сумм Дарбу на множестве всех разбиений Т. Обозначим их как: , . Очевидно, что

. (7)

Это неравенство следует из свойств 3 и 2 и определения sup и inf. Числа и называют верхним и нижним интегралами Дарбу.

Лемма Дарбу. Для произвольного положительного числа найдется такое число , что с шагом выполняется неравенство

. (8)

Справедливость формулы (8) следует из определения sup и inf, а так же и .

Теорема 5 ( критерий интегрируемости функции). Для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема на необходимо и достаточно, чтобы нашлось такое разбиение T отрезка , чтобы выполнялось неравенство:

, (9)

т.е. чтобы существовал предел

.

□ Необходимость. Пусть функция f (x) интегрируема на , -произвольное положительное число. Тогда, по определению 1, , что для любого разбиения Т и при любом наборе точек выполняется неравенство

или .

В силу свойства 1 и неравенства (4) справедливы неравенства , тогда .

Отсюда следует, что для любого разбиения Т с шагом имеет место неравенство: .

Достаточность. Пусть ε – произвольное положительное число и выполняется неравенство (9) при некотором разбиении Т. Из неравенств (8) и (9) следует:

=> => .

В силу произвольности ε, это возможно лишь когда . По лемме Дарбу с шагом выполняется неравенство: . Из полученного неравенства, в силу (4) следует, что при любом выборе точек получим:

=> . Т.е. функция f (x) интегрируема на отрезке . ■

Очевидно, что неравенство (9) можно записать в виде

или ,

где - колебание функции на отрезке .

Из доказательства теоремы следует, что для того, чтобы функция f (x) была интегрируема на , необходимо и достаточно, чтобы ее верхний и нижний интегралы Дарбу совпадали, т.е. .