Лекция 21. Матричная форма метода перемещений (продолжение)

ПЕРЕХОД К ГЛОБАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Перейдем теперь к глобальной системе координат (ГСК). Для этого выразим компоненты узловых сил и перемещений в МСК через компоненты узловых сил и перемещений в ГСК. На рис.21.1 показан стержень i-j, а также местная и глобальная системы координат для этого стержня. Обозначим направляющие косинусы местных осей элемента в глобальной системе координат следующим образом:

(21.1)

 

Рис.21.1. Узел i

 

При принятых обозначениях, проектируя перемещения узлов элемента i-j в глобальной системе координат на местные координатные оси, получаем составляющие перемещений узлов этого элемента в местной системе:

 

(21.2)

 

(21.3)

 

Объединим формулы (21.2) и (21.3) и запишем их в матричном виде:

 

(21.4)

где

 

.	(21.5)
	(21.6)

 

Найдем проекции концевых сил элемента i-j на глобальные оси XYZ. Для i -го узла получим:

 

(21.7)

 

Формулы (21.7) в матричном виде:

 

(21.8)

где

(21.9)

 

Подставив в формулу (21.8) соотношение (20.4), в котором, в свою очередь, учтем соотношение (21.4), получим:

(21.10)

или

(21.11)

где

(21.12)

 

есть матрица жесткости и вектор нагрузки элемента i-j в глобальной системе координат, соответственно.

Для составления уравнений равновесия конструкции формулу (21.11) представим в блочном виде:

(21.13)

откуда

(21.14)

 

В формуле (21.24) векторы { f_i }, {d _i }, {d _j } состоят из шести компонентов каждый, а матрицы [ k_i,i ] и [ k_i,j ] имеют порядок 6×6 и представляют собой блоки матрицы жесткости стержня i-j.

МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИИ

Вернемся к уравнениям (20.2) равновесия i -го узла конструкции. Отметим, что в эти уравнения входит вектор сил , представляющий результат действия стержня i-j на данный узел. Вектор сил , фигурирующий в формуле (21.14), представляет собой результат действия i -го узла на стержень. Очевидно, что

 

=- .

(21.15)

Подставляя (21.15) в уравнения (20.2) и учитывая (21.14), получаем:

 

(21.16)

или

(21.17)

 

Составив уравнения по типу (21.17) для всех узлов конструкции и объединив их, получим следующую систему уравнений:

 

(21.18)

 

или, в компактном виде:

(21.19)

где [ K ] — матрица жесткости конструкции,

{D} – объединенный вектор узловых перемещений,

{ F } – объединенный вектор узловых нагрузок, причем

	(21.20)
	(21.21)

 

Вектор узловых нагрузок находится суммированием заданных внешних узловых сил и узловых эквивалентов пролетных нагрузок, т.е.:

.

(21.22)

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ

 

Исходя из изложенного выше, алгоритм расчета произвольных стержневых конструкций методом перемещений можно сформулировать следующим образом:

1. Для каждого стержня:

а) вычислить матрицу жесткости в местной системе координат по формуле (20.7);

б) вычислить матрицу жесткости в глобальной системе координат по формуле (21.12);

в) вычислить вектор узловых сил в защемлении от пролетных нагрузок;

2. Путем суммирования матриц жесткостей элементов вычислить матрицу жесткости конструкции по формуле (21.21) и вектор узловых нагрузок по формуле (21.22);

3. Решить систему линейных алгебраических уравнений (21.19);

4. Вычислить усилия в стержнях, используя формулу (20.4).