Определение температурных перемещений в стержневых системах

Предположим, что на статически определимую стержневую систему, в качестве примера которой рассматривается простая балка на двух опорах, действует температура, как показано на рис. 6.7.

а б

Рис.6.7. К определению перемещений от действия температуры:

а – рассчитываемая конструкция, б – эпюры изгибающих моментов и продольных сил от единичной силы

Предположим, что на опорах этой конструкции возникают опорные реакции. Составим уравнения равновесия:

Из этих уравнений видно, что опорные реакции равны нулю. Следовательно, равны нулю и внутренние силы. Таким образом, при действии температуры на статически определимую конструкцию в последней не возникает никаких усилий. Очевидно, однако, что вследствие температурного расширения материала в статически определимой конструкции будут возникать температурные перемещения. Рассмотрим методику определения этих перемещений.

Пусть в конструкции, изображенной на рис. 6.7, требуется найти перемещение точки i в заданном направлении. Обозначим это перемещение . Рассмотрим некоторое возможное состояние конструкции, где в точке i на конструкцию действует единичная сила в направлении искомого перемещения. Применим принцип возможных перемещений, причем в качестве возможного будем рассматривать заданное состояние конструкции, а в качестве действительного — единичное состояние. Тогда на основании принципа возможных перемещений получаем:

(6.15)

В этой формуле А _2,1, V _2,1 — работа внешних и внутренних сил действительного состояния на возможных перемещениях, соответственно. Найдем каждую из них в отдельности.

Работа внешних сил равна:

(6.16)

Для определения работы внутренних сил вырежем из конструкции элемент бесконечно малой длины dx и рассмотрим его состояние при действии температуры и при действии единичной силы. Температурное воздействие на элемент представим в виде равномерного нагрева или охлаждения с постоянной температурой по высоте поперечного сечения и неравномерного нагрева с нулевой температурой на оси. Элемент dx, эпюра температур для него и температурные перемещения показаны на рис.6.8.

Рис.6.8. Температурные воздействия на элемент dx и вызванные ими перемещения

Равномерный нагрев приводит к равномерному расширению элемента dx и при этом его удлинение вдоль оси будет равно:

(6.17)

Неравномерный нагрев приводит к укорочению верхних волокон и удлинению нижних. Длина среднего волокна при этом не изменяется. Следовательно, при неравномерном нагреве торцевые сечения элемента будут поворачиваться относительно друг друга, и взаимный угол поворота, как видно из рис. 6.8, равен:

(6.18)

В приведенных выше формулах a — коэффициент линейного температурного расширения, t _ср — температура на оси или средняя температура, равная (t ₁ + t ₂)/2, t’ = (t ₁ -t ₂)/2 — приращение температуры на поверхности по сравнению с температурой на оси.

В единичном состоянии на элемент dx действует продольная сила и изгибающий момент (эпюры и показаны на рис.6.7). Эти силы будут совершать работу на перемещениях, рассмотренных выше. Работа продольной силы равна:

(6.19)

Работа изгибающего момента определяется выражением:

(6.20)

Полная работа внутренних сил в пределах конструкции будет равна сумме элементарных работ, следовательно:

(6.21)

В формуле (6.21) ω _N и ω _M — площади эпюр продольных сил и изгибающих моментов от единичной силы соответственно.

Подставляя найденное значение работ внешних и внутренних сил в уравнение принципа возможных перемещений (6.15), получаем:

(6.22)

В полученной формуле знаки слагаемых определяются по следующим правилам: если температура и единичная сила вызывают деформацию одного знака, то соответствующее слагаемое имеет знак плюс, в противном случае — минус.