Вычисление пределов функции в заданной точке

Цель:

        - сформировать навыки вычисления пределов в точке;

        - развить умение раскрывать неопределённости вида

        - закрепить знания о способах разложения многочлена на линейные множители;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

  Краткие теоретические сведения:

  Предельное значение функции в заданной точке — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

  Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

  Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

  Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Определение 1: Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а. Число В называют пределом функции f(x) в точке а, если для любой последовательности значений аргументов х₁, х₂, х₃, …, х_n, стремящихся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), сходится к числу В.

Обозначение: f(x) = В, если х_n → а при f(x_n) →В.

Для предела функции в точке справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если  f(x) = А,  g(x) = В, то предел суммы функций f(x) и g(x) при х→а равен сумме пределов этих функций, т.е.

 (f(x) ± g(x)) = f(x) ±  g(x).

Теорема 2. Если f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, то предел произведения функций при х→а равен произведению пределов этих функций, т.е.

 (f(x) · g(x)) =  f(x) ·  g(x).

Следствие 1.  (С∙f(x)) = С ∙ f(x).                           

Следствие 2. С = С.

Теорема 3. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, причем предел функции g(x) ≠ 0, то имеет место равенство:

.

Рассмотрим вычисление пределов функций на конкретных примерах.

   Пример 1. Найти предел в заданной точке:

 

   Решение:

   При непосредственной подстановке х = 2 получим неопределенность вида [0/0]. Раскрыть эту неопределенность возможно, разложив числитель и знаменатель на линейные множители по формулам:

,

 

Далее сократим дробь на х – 2 и найдём значение предела при х = 2:

   Пример 2. Найти предел в заданной точке:

   Решение:

В данном случае пределы числителя и знаменателя при  равны нулю, имеем неопределенность вида [0/0].

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель  и, затем сократив дробь на х – 6 , получим:

 

Задания  для самостоятельного выполнения:  

Найти пределы функций в заданных точках.

Вариант 1.

1.            2.                  3.    

Вариант 2.

1.            2.              3.    

Вариант 3.

1. ;       2.         3.   

Вариант 4.

1. ;        2.        3.   

Вариант 5.

1. ;         2.           3.   

Вариант 6.

1.                 2.           3.   

Вариант 7.

1. ;             2.       3.    

Вариант 8.

1.                2.          3.   

Вариант 9.

1. ;           2.         3.      

Вариант 10.

1.                2. ;      3.    

Вариант 11.

1.    2.                3.

Вариант 12.

1. ;      2.      3.   

Вариант 13.

1. ;      2.         3.  

Вариант 14.

1.             2. ;     3.    

Вариант 15.

1. ;        2.       3.   

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите основные методы вычисления пределов в точке.

2. Сформулируйте теоремы о пределах.

3. Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена.

4. Запишите формулы разности квадратов и разности кубов.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8