Действия над комплексными числами

В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

 

Цель:

- сформировать умения выполнения действий над комплексными числами в алгебраической форме;

 - развить навыки преобразования мнимой единицы;

  - закрепить знания о свойствах степени;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы, плакат свойства степени;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

 Краткие теоретические сведения:

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме производится по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 1. Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел:

Решение:

1. Сложение комплексных чисел:

По правилу сложения комплексных чисел получим:

.

2. Вычитание комплексных чисел:

По правилу вычитания комплексных чисел получим:

.

3. Умножение комплексных чисел:

По правилу умножения комплексных чисел получим:

4. Деление комплексных чисел:

Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:

Пример 2. Вычислить:

Решение:

1. Так как  получим:

2. Используя соотношение , получим:

Задания для самостоятельного выполнения:

I.  Выполните сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

II.  Возведите в степень.

 

Вариант 1.

1. а)                             в)

б)                           г)      

2. а)                  б)               в)

Вариант 2.

1. а)                              в)

б)                              г)      

2. а)                  б)              в)

Вариант 3.

1. а)                              в)

б)                               г)      

2. а)                   б)              в)

Вариант 4.

1. а)                                 в)

б)                          г)      

2. а)                    б)             в)

Вариант 5.

1. а)                               в)

б)                                 г)      

2. а)                     б)             в)

Вариант 6.

1. а)                                в)

б)                                г)      

2. а)                     б)            в)

Вариант 7.

1. а)                                в)

б)                             г)      

2. а)                      б)             в)

Вариант 8.

1. а)                               в)

б)                                  г)      

2. а)                       б)             в)

Вариант 9.

1. а)                                в)

б)                                г)      

2. а)                        б)              в)

Вариант 10.

1. а)                             в)

б)                                  г)      

2. а)                        б)             в)

Вариант 11.

1. а)                          в)

б)                                   г)      

2. а)                         б)             в)

Вариант 12.

1. а)                                 в)

б)                                  г)      

2. а)                          б)            в)

Вариант 13.

1. а)                                   в)

б)                          г)      

2. а)                           б)             в)

Вариант 14.

1. а)                                  в)

б)                           г)      

2. а)                           б)             в)

Вариант 15.

1. а)                                     в)

б)                                    г)      

2. а)                            б)            в)

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение  равным, противоположным, сопряженным, мнимым комплексным числам.

2. Запишите алгебраическую форму комплексного числа.

3. Как выполняются действия над комплексными числами в алгебраической форме?

4. Правило вычисления натуральных степеней мнимой единицы?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

 

Цель:

- сформировать навыки вычисления модуля и аргумента комплексного числа;

- развить умения выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической форме;

- закрепить навыки преобразований комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую и наоборот;

 Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы, таблица значений тригонометрических функций;

Время выполнения:  2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

 Краткие теоретические сведения:

   Для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня n-ой степени над комплексными числами в тригонометрической форме необходимо знание соответствующих формул.

Пример 1. Выполнить умножение комплексных чисел   в тригонометрической форме.

Решение:

Найдем произведение двух комплексных чисел по заданной формуле:

   Пример 2. Выполнить деление комплексных чисел  в тригонометрической форме.

Решение:

Выполним деление двух комплексных чисел по заданной формуле:

  Пример 3. Возвести в степень: .

  Решение:

По формуле Муавра получим:

  Пример 4. Найти значение корня из комплексного числа .

  Решение:

Во-первых, представим число i  в тригонометрической форме:  Находим модуль по формуле .

Точка, изображающая число z, лежит в I четверти, тогда, Определим по таблице значений тригонометрических функций главное значение аргумента: . Поэтому, тригонометрическая форма числа  примет вид:

Теперь найдём значение корня по формуле:

Находим:

если  то

если  то

Пример 5.  Преобразуйте  алгебраическую форму комплексного числа  в тригонометрическую.

Решение:

Для перевода комплексного числа  из алгебраической формы в тригонометрическую необходимо найти его модуль и главное значение аргумента. Здесь  Находим модуль по формуле .

.

Точка, изображающая число z, лежит в IV четверти, тогда .Определим по таблице значений тригонометрических функций главное значение аргумента: . Поэтому, тригонометрическая форма числа  примет вид:

.

Задания для самостоятельного выполнения:

I. Выполните  умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

II. Выполните деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

III. Возведите в степень.

IV.Представьте число в тригонометрической форме и найдите значение корня.

 V.Преобразуйте алгебраическую форму комплексного числа в тригонометрическую.

Вариант 1.

1.

2.

3.                   

4.                    

5.

Вариант 2.

1.

2.

3.                    

 4.                

 5.

Вариант 3.

1.

2.

3.                       

4.                  

5.

Вариант 4.

1.

2.

3.                   

4.       

5.

Вариант 5.

1.

2.

3.                 

4.                     

5.

Вариант 6.

1.

2.

3.                          

4.                  

5.

Вариант 7.

1.

2.

3.                          

4.                   

5.

Вариант 8.

1.

2.

3.                   

4.               

5.

Вариант 9.

 1.

 2.

 3.                   

 4.                   

 5.  

Вариант 10.

1.

2.

3.                             

4.              

5.  

Вариант 11.

1.

2.

3.                     

4.               

5.

Вариант 12.

1.

2.

3.                              

4.           

5.  

Вариант 13.

1.

2.

3.                     

4.                 

5.  

Вариант 14.

1.

2.

3.                                  

4.             

5.

Вариант 15.

1.

2.

3.                         

4.                 

5.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называют модулем и аргументом комплексного числа?

2. Как представить комплексное число в тригонометрической форме?

3. Правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

4. Запишите формулу Муавра.

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3