Глава 5. Поглощение в магнитоактивной плазме.

 

Поглощение электромагнитных волн из-за столкновений между частицами. В элементарной теории это поглощение по-прежнему учитывается введением члена - m_e n _eff  в правую часть уравнения движения электрона (4.3). То есть теперь мы имеем:

.

Введем обозначения:

.

Тогда уравнение движение можно записать в виде:

U -i[ , ]+X =0.

Из уравнений Максвелла имеем (  - единичный орт вдоль волнового вектора):

rot =i[ ]=i w n/c[ ]=i w /c  или n[ ],

а также:

rot =-i w /c +  или n[ ]+ + =0.

Таким образом, имеем систему уравнений:

U -i[ , ]+X =0

=n[ ]

n[ ]+ + =0.

Подставим второе уравнение в третье и раскроем в результате двойное векторное произведение. В итоге имеем систему из двух уравнений:

U -i[ , ]+X =0

n²( ) - n² + + =0.

Из второго уравнения получим  и подставим в первое уравнение.

U(n²-1) -n²U( ) -i(n²-1)[ ]+in²( )[ ]+X =0,

или:

(U(n²-1)+X) -n²U( ) -i(n²-1)[ ]+in²( )[ ] =0.                  (5.1)

Направим ось z по вектору . Вектор  расположим в плоскости zx. Тогда =Y_t + Y_e .

Используем далее соотношения:

[ ]=

и

[ ]=[ , Y_t ]=Y_t

Спроектируем уравнение (5.1) на координатные оси:

(U(n²-1)+X)E_x-i(n²-1)Y_eE_y

(U(n²-1)+X)E_y-i(n²-1)(Y_tE_z-Y_eE_x)+in²Y_tE_z=0

(U(n²-1)+X)E_z- n²UE_z+i(n²-1)Y_tE_y=0.

Определитель этой системы равен:

=

=(n²-1)²U²(X-U)+2(n²-1)UX(X-U)+X²(X-U)+

+ (n²-1)²UY_t²+(n²-1)XY_t²+(n²-1)²Y_e²(U-X)=0,

или:

D=(n²-1)²(U²(X-U)+ UY_t²+ Y_e²(U-X))+

+(n²-1)(2UX(X-U)+ XY_t²)+ X²(X-U)=0.

Тогда, используя соотношение

x²=1+ , получаем формулу Аппельтона-Хартри:

.

В квазипродольном приближении можно положить Y_t=0, тогда:

,

где n_± - действительный показатель преломления, а h_± - показатель поглощения. Учитывая малость Z, отсюда получим:

, .                          (5.2)

Здесь .

В достаточно разреженном слое плазмы ( v << 1) со слабым магнитным полем ( ) и в широком интервале углов a , где реализуется случай квазипродольного распространения, оптическая толщина:

.                                                                                 (5.3)

Здесь  = BT ^–3/2 N ² L , где L - толщина слоя. При написании формулы (5.3) учтено, что:

,

и величина h_1,2=h_± получена путем разложения в ряд по степеням  выражения (5.2). Яркостная температура теплового тормозного излучения из слоя Т _b1,2= Т(1 - ) и на частотах w ² << w _cr ² будет равна Т для обоих типов волн. Степень поляризации излучения на этих частотах равна нулю. В области w ² >> w _cr ² слой становится оптически тонким, Т _b1,2= T t_1,2- Поскольку t₁> t₂(см. (5.3)), отсюда заключаем, что наложение магнитного поля на плазму увеличивает интенсивность тормозного излучения на необыкновенной волне, снижая одновременно излучение обыкновенной компоненты. Суммарная интенсивность I _w µ T_{b 1} + T_{b 2} при этом не меняется (точнее, она возрастает в более высоком приближении по степеням ). Поэтому частотный спектр излучения 1 _w ( w ) отличается от представленного на графике рис.4.2. Степень круговой поляризации излучения, выходящего за пределы источника, равна:

.

Эта формула позволяет оценить продольную компоненту магнитного поля B_o½cos a½ в источнике теплового тормозного излучения по измеренной степени круговой поляризации. Измерения при этом должны производиться в той области частотного спектра, где источник – оптически тонкий, то есть на частотах w ² >> w _cr ² .

Глава 6. Перенос излучения

 

Уравнение переноса в изотропной плазме

Для определения интенсивности излучения источника при знании физических условий в нем необходимо решать задачу переноса излучения в среде источника.

Интенсивность излучения в элементарном объеме изменяется за счет поглощенной       и излученной энергии :      

.

Доля поглощенной энергии пропорциональна коэффициенту поглощения среды      и длине пройденного пути  :

.

Для нахождения      воспользуемся законом Кирхгофа, согласно которому отношение коэффициента излучения    к    есть величина, равная для теплового излучения интенсивности излучения «абсолютно черного» тела . Величина       определяется формулой Планка:

.

В радиодиапазоне   <<    и формула Планка переходит в формулу Релея-Джинса:

.

Итак: .

Введем понятие оптической глубины. Если излучение идет к нам, то оптическую глубину удобнее измерять от наблюдателя. Тогда определим оптическую глубину      как

Тогда . Следовательно:

,

или:

.                                                                                                   (6.1)

Затем получим: ( ) ( ) .

Интегрируя обе части этого выражения от 0  до , находим:

,

 .

Если   и  << 1, то или в температурах .

Поскольку a_w не связана с интенсивностью излуче­ния I _w, она характеризует спонтанные процессы, не завися­щие от наличия или отсутствия излучения вдоль данного луча. Наоборот, член m _j I _w определяет те индуцированные (вынужденные) процессы излучения и поглощения, которые происходят лишь под действием излучения, переносимого вдоль этого луча, и исчезают при I _w -> 0. Как a_w, так и m _j, могут зави­сеть от интенсивности излучения вдоль других лучей (или от величины интенсивности вдоль данного луча, но перено­симой в противоположном направлении, или имеющей другую частоту). В этом случае речь идет об учете в урав­нении переноса (6.1) процессов рассеяния излучения.

Рис. 6.1. К учету рефракции.

Уравнение переноса (6.1) справедливо лишь в однородной среде. При переходе к случаю неоднородной плазмы в уравнении переноса следует учесть то обстоятельство, что интенсивность излучения не сохраняется вдоль луча даже при a _w = 0 и m = 0. Это связано, в конечном счете, с изменением телесного угла dW, в котором распространяется излучение, вследствие рефракции в среде с показателем преломления n_j ( ). Будем предполагать, что изотропная плазма - плоскослоистая, т. е. ее по­казатель преломления n_j зависит только от одной декартовой координаты z . Учет рефракции в этом случае значительно упрощается.

Введем в плоскослоистой среде систему координат х, у, z , направив ось z вдоль grad N. Рассмотрим луч, расположенный в плоскости, проходящей через ось z , и составляю­щий с плоскостью у z угол J (рис. 6.1).

Уравнение луча определяется законом Декарта-Снеллиуса и в нашем случае он может быть записано в форме:

;     ,                                                                   (6.2)

где n_j , j,  относятся к значению z, а , ,  - к значению z’ ( z и z ’ определяют две произвольно выбранные пло­скости, параллельные плоскости ху

С учетом соотношений (6.2) , малости приращений d j и d J и учитывая, что:

,

получим:

,  .                                                    (6.3)

Перемножая почленно первое равенство из (6.2) и оба ра­венства (6.3) и принимая во внимание, что sinj d j d и sinj ’ d j ’ d представляют собой элементы телесных уг­лов dW и dW’, в которых лежат лучи из интервалов d j d  и d j ’ d , получим следующее соотношение:

.                                                                             (6.4)

Далее учтем, что в плоскослоистой среде с a _w= 0 и m _j =0и при стационарном распределении интенсивности вдоль лучей закон сохранения энергии требует, чтобы потоки энергии через одинаковые площадки dS и dS', сквозь которые проходит рассматриваемый луч в плоскостях z и z', были равны между собой. Поток энергии через dS ра­вен I _wcosj dWdS и, следовательно, равенство потоков через dS = dS' приводит к соотношению:

                                                                               (6.5)

(I _w — интенсивность вдоль луча в точке z , I _w ’ - то же самое, но в точке г'). Деля почленно равенство (6.5) на (6.4), получаем:

.

Поскольку плоскости z и z' были выбраны произвольно, отсюда следует, что в прозрачной (m _j = 0) и неизлучающей ( a _w = 0) плоскослоистой среде со стационарным распределением интенсивности I _w (l) имеет место следующий инвариант вдоль луча:

.                                                                                                     (6.6)

Тот же инвариант соблюдается в изотропной среде с произвольным (но плавным) характером неоднородности.

Посмотрим теперь, каким образом учет этого инварианта в неоднородной среде меняет вид уравнения переноса. Согласно (6.6) вносимое рефракцией изменение интенсив­ности на единице длины луча составляет:  или:

.

В неоднородной среде с отличной от нуля излучательной способностью a _w, и коэффициентом поглощения m _j , величину (2 I _w/n_j) dn_j / dl нужно добавить в правую часть уравнения переноса (6.1). В результате оно приобретет следующий вид:

.                                                                                     (6.7)

В магнитоактивной, прозрачной (m _j =0), неизлучающей (a _w =0) плазме имеет место следующий инвариант вдоль луча:

.

Здесь  - угол между волновым вектором и групповой скоростью. В этом случае уравнение переноса принимает вид:

.                                                           (6.8)

 

Радиоизлучение в плоскослоистой, сферически-симметричной среде (солнечной короне)

Запишем закон Декарта-Снеллиуса:

,                                                                                              (6.9)

Конcтанта в (6.9) будет фиксирована, если задать угол j = j _o между _j и осью z на некотором уровне z = z ₀ :

.                                                                         (6.10)

Часто в качестве уровня z ₀ выбирают начало плазменного слоя e=1, где имеет место переход от плазмы к вакууму. Угол j ₀ в этом слое называется углом падения волны на слой, значение n_j { z ₀ ) здесь равно единице для электромагнитных волн.

О поведении луча при наклонном падении волны под углом j ₀ на плоскослоистую среду можно судить по рис. 6.2, а. Вершина луча, соответствующая точке отражения z_ref определяется из (6.10) при условии j=p/2:

,

или, что - то же самое ( ):

.                                                                       (6.11)

Если в плазме находится источник, излучающий во всех направлениях, то благодаря рефракции излучение при выходе из плазмы приобретает направленный характер. Интервал углов j < j _max под которыми излучение покидает среду, легко найти, если учесть, что луч, выходящий за пределы плазмы под наибольшим углом j_max имеет вершину в точке z=z_src, где располагается источник (рис. 6.2, b).

 

                     a                                    b

Рис. 6.2. Рефракция в плоскослоистой плазме с DN вдоль оси z : (а) форма луча, входящего в плазму под углом j _o ; (b) лучи от точечного источника в плазме .

 

Тогда согласно (6.11):

,                                                             (6.12)

где . Из этого выражения следует, что направленность увеличивается по мере приближения источника к уровню e ( z , w )=0 (либо за счет перемещения источника постоянной частоты в глубь плазмы, либо вследствие уменьшения частоты, генерируемой источ­ником). Формула (6.12) позволяет оценить величину электронной кон­центрации в окрестности источника по наблюдаемой ширине углового спектра излучения на данной частоте.

Закон преломления в сферически-симметричной среде:

.                                                                                      (6.13)

Если обозначить через R _¥ точку на траектории луча вне среды, то этому закону преломления можно придать следующий вид:

,                                            (6.14)

где r - "прицельный параметр", характеризующий расстояние от входящего в среду луча до идущего параллельно ему радиуса. На Солнце параметр r имеет смысл расстояния от центра солнечного диска. Для поперечных электромагнитных волн показатель преломления за пределами короны n_j ( R _¥ ) = 1 учет формального отличия n_j ( R _¥ ) от единицы нужен лишь при рассмотрении рефракции плазменных волн. Типичный ход луча в солнечной короне с монотонно убывающей при увеличении R электронной концентрацией приведен на рис. 6.3.

a)

 

b)

 

Рис. 6.3a,b. К расчету формы луча в сферически-симметричной солнечной короне

 

Из (6.14) и этого рисунка ясно, что элемент длины луча:

                                                                            (6.15)

Так как , то  и тогда траектория луча в полярных координатах R , q:

.                                                                               (6.16)

Величина q _¥, очевидно, совпадает с j ( R _¥ ). Точка отражения (точка "поворота"), где j = p/2, R = R* и q = q*, определяется равенством:

.                                                                                                  (6.17)

Траектория луча симметрична относительно радиуса R*, проходя­щего через точку поворота, и лежит в плоскости, проходящей через центр симметрии.