Постановка и мат. модель задачи векторной оптимизации

Многие экономико-управленческие задачи являються многоцелевыми, в силу этого решение по одному критерию может оказаться не наилучшим по другим. Для решен подобн задач исп метод векторн оптимизац.

Множество критериев можно представить в виде векторной целевой ф-ии:

F(x) = (f₁(x) f ₂ ( x ),…, f_k ( x ))

Для минимизации частного критерия f_k ( x ) достаточно максимизировать - f_k ( x ), т. к.

min f_k ( x ) = max (- f_k ( x )), поэтому каждый компонент векторного критерия максимизируется. 

Задача: 1. max F (x) = (f₁(x) f ₂ ( x ),…, f_k ( x ))

    2. φ_i(x) {<=,=,>=}b, i= 1,n

    3. x_ij >=0, j=1,n       

Будем рассматривать эту задачу для случая, когда оптимальные решения x_k, k= 1, k , полученные при решении по каждому критерию не совпадают. Найти решения, при которых значения всех критериев одновременно будет наилучшим можно в области компромисса, кот в ОДР.

Решения, которые доставляют критериям наилучшие значения называются – эффективными, компромиссными, оптимальными по Паретто.

План Х₁ не хуже плана Х₂, если f_k(x₁)>=f_k(x₂), k=1,n. Если среди последних неравенств хотя бы одно строгое, то план Х₁ называется предпочтительнее плана Х_2./ План Х₁ оптимален по Паретто, если он допустим и не существует другого плана Х₂, для которого f_k(x₁)>=f_k(x₂), k=1,n и хотя бы для 1-го критерия выполняется строгое неравенство.

Основные проблемы, возникающие при решении задач векторной оптимизации.

Проблема нормализации. Возникает в связи с тем, что локальные критерии имеют различные ед-цы и масштабы измерения, что делает невозможным их непосредственное сравнение. Для этого приходится приводить их к единому масштабу и безразмерному виду – нормировать. Самые распространённые способы нормирования: - замена абсолютных значений критериев их безразмерными относительными величинами: f_k = f_k/f*_k, k=1,n;  - замена абсолютных значений критериев их относительными значениями отклонений от оптимальных значений

1. Проблема учёта приоритетов критерия. Здесь приходится находить как математическое, так и специальное влияние критерия на решение задачи.

2. Проблема определения области компромисса.

Методы решения многоцелевых задач

Методы решения многоцелевых задач делятся на:

-методы, кот основаны на свёртывании критериев -методы, в кот используются ограничения на критерии, -методы, которые основаны на отыскании компромиссного решения.

Наиболее распространёнными среди них являются:

1.Метод линейной комбинации частных критериев 2.Метод оследовательных уступок 3.Метод ведущего критерия 4.Метод равных и наименьших относительных отклонений

Метод лин.комбинаций част.критериев.

При решении задач данным методом вводится вектор весовых коэф.,кот.характ.важность соотвюкритерия.

α=(α1,α2,…αк), αк>0

Тогда целевая ф-ция будет представлять собой един.частных критериев,умноженных на весовые коэф.При этом критерии обязат.должны быть нормированы.

maxF(x)=Сумм αк*fк(x)

λi(x){<= >=}bi,i=1,m

xj>=0,j=1,n

 

Метод ведущего критерия.

Этот метод явл.частным случаем метода последовательных уступок.В этом методе все критерии,кроме маиого важного,переводятся в разряд ограничений.

Умножив все критерии минимизации ф-ции на -1 и обозначив через ß=(ß2,ß3..ßк)нижние границы соотв.критериев,тогда модель задачи будет меть вид:

maxF(x)=f1(x)

fk(x)>=ßk, k=2,k

λi(x){<=,=,>=}bi,i=1,m

xj>=0,j=1,n

Будем решать задачу по к критериям:

max f₁ =  

max f₂ =  

min f_k =  , k=3,k

 ( ≤ , = , ≥ ) b_i , i=1,m

x_j ≥ 0, j=1,n

Запишем условия равенства относит.отклонений критериев от их экстримальн.значений.

= =…=

Рассмотрим 4 первых критерия. По условию задачи f₁ и f₂ максимизир-ся, а f₃, f₄-минимизир-ся. Проанализируем знач-я 2-х первых критериев.

Если  <0 и f^*₂<0 , то

>0 и >0 Если f₁^*>0 и f₂^*>0 , то  <0 и <0.

Поэтому в равенстве относит.отклонений этих критериев модуль абсолютных величин можно опустить. Тогда получим:

 =  => f₁-1= f₂-1Введем обознач: d₁=  , d₂ =  => d₁f₁-d₂f₂=0

Для критериев f₃, f₄ получим точно такое же уравнение, т.к. направления их оптимизации совпадают.Рассмотрим критерии с противоположными направлениями оптимизации f₁и f₃.Если f₁^*<0,

f₃^*<0, то  >0, <0. Если f₁^*>0, f₃^*>0, то <0, >0.

Поэтому при опускании знака модуль перед одним из выражений надопоставить «-». Получим: = -  => d₁f₁+d₃f₃=2

 Т.о., для нахождения компромиссного решения методом равных и наим. относ. отклонений необх. оптимизир-е критерии включить в число неизвестных задачи и к основным ограничениям добавить след. ограничения: d₁f₁-d₂f₂=0 – для всех f_k, кот. как и f₁ максимизир-ся; d₁f₁+d₃f₃=2 - для всех f_k, кот.