Финансовая рента. Вычисление текущей стоимости

 

Текущая стоимость ренты (синонимы - современная, приведенная стоимость ренты) PV^А по определению находится приведением будущей стоимости FV^А по формуле (2.2.4) к настоящему моменту времени, т.е.

 

PV^А =                             (2.5.1)

 

 

Величина

                       F₄=                                     (2.5.2)

называется коэффициентом приведения ренты, текущей стоимостью единичного аннуитета и показывает сегодняшнюю стоимость денежного потока интенсивностью в одну денежную единицу в течение "n" периодов и ставке дисконтирования "r" (см. приложение 4).

Если в формуле (2.5.1) перейти к оценке бессрочного аннуитета (n ), то получим . Именно по этой формуле оценивается акция, стоимость ренты по бессрочным государственным облигациям и стоимость предприятия. Роль платежей играют соответственно дивиденды, проценты, чистый доход.

В тех случаях, когда доходы/платежи осуществляются "m" раз в периоде (году), то аналогично формулам (2.2.5) и (2.3.2) можно получить текущую стоимость аннуитета:

 

     PV^A=A                          (2.5.3)

 

 

Совокупность финансовых формул, используемых в пределах излагаемого материала, дана в табл. (2.5.1).

                                  

                                                                                                                               Табл. 2.5.1.

 

Основные финансовые формулы

 

Время   Доходы/расходы	Будущее (t=n)	Настоящее (t=0)
	Наращенные значения	Дисконтированные значения
Величины	F1=FV=(1+r)n	F2=PV=
Аннуитеты	F3=FVA=	F4=PVA=

 

Численные значения функций F₁…F₄ даны в приложениях 1…4.

 

Пример 11. Инвестор приобретает облигацию, приносящую процентный доход 250 руб./год. До погашения облигации остается 7 лет. Номинальная стоимость облигации равна 2000 руб. За сколько стоит купить облигацию (можно и дешевле, но не больше), чтобы доходность подобной инвестиции равнялась 21 %.

Решение. По формуле (2.5.1) и (2.3.1) вычисляем

 

PV=250

= 250 руб./год 3,51 год+2000 руб.  0,263 б/разм.=877+527=1404 руб.

 

Т.о., покупать облигации стоит за 1404 руб. или дешевле, чтобы обеспечить доходность своей инвестиции не менее 21 % в год.

Пример 12. Предприятие взяло в долг на 5 лет у банка ссуду в размере 700 тыс. руб. под 16 % годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать необходимо равными суммами каждые полгода. Найти величину годового платежа.

Решение. По формуле (2.5.3) находим:

 

700 тыс. руб. = А  А  6,71 откуда

А= =104,32 тыс. руб./полгода.

 

2.6. Погашение долга

 

Часто план погашения кредита предусматривает возврат долга равными величинами через равные промежутки времени. Эти платежи являются аннуитетами, они включают в себя и амортизацию долга, и процентный платеж на остаток долга. Найдем величину годового платежа. Запишем формулу

 

                            Y_i=A_i+Π_i                                                   (2.6.1)

 

Где, Y_i- размер платежа в i-м периоде;

    A_i- размер амортизации основного долга в i-м периоде;

    Π_i- размер процентов по долгу в i-м периоде.

По определению размер долга (Д) равен текущей стоимости всех платежей Y_i, т.е.

    PV=Д= .

Если Y_i=Y=const, то последнее выражение является суммой геометрической прогрессии, что позволяет найти размер долга

               

          Д=Y

а затем и величину годового платежа

 

           Y= =Д                                                       (2.6.2)

 

С функцией F₄ мы уже встречались (см. формулу (2.5.2)). Она называлась коэффициентом приведения ренты, а вот обратная величина 1/F₄ (см. формулу (2.6.2)) называется коэффициентом погашения задолженности или взносом на амортизацию денежной единицы.

В тех случаях, если долг гасится не раз в год, а "m" раз, то формула (2.6.2) принимает вид:

        Y=Д                               (2.6.3)

 

Рассмотрим на примере как воспользоваться формулой (2.6.2) для составления плана погашения долга.

Пример 13. Банк выдал кредит в размере 40 млн. руб. на 5 лет, под 6 % годовых с условием возврата 1 раз в год. Составить план погашения долга. Итак: Д=40 млн.руб, n=5 лет, m=1.

 

Решение. По формуле (2.6.2) вычисляем:

 

         Y=40 =40 0,2374=9,496 млн.руб./год.

 

Величина первого процентного платежа составит величину

 

          П₁=40 0,06=2,4 млн. руб/год;

 

Следовательно, амортизация основного долга (см. формулу(2.6.1)) будет равна

 

           А₁=Y-П₁=9,496-2,4=7,096 млн. руб./год;

 

Размер основного долга после первого года станет

 

           Д₂=Д-А₁=40-7,096=32,904 млн. руб.

 

Далее находим

 

            П₂=0,06 Д₂=0,06 32,904=1,974 млн. руб./год;

 

            А₂=Y-П₂=9,496-1,974=7,522 млн. руб./год;

 

и т.д. пока не будут найдены величины П₅ и А₅.

Все эти последовательные расчеты от i=1 до i=5 представлены в табл. (2.6.1).

                                                                                              Табл. 2.6.1.

План погашения долга равными уплатами

 

Годы	Остаток долга Дi=Yi-1-Ai	Процентный платеж Пi=Дi+r	Выплаты по основному долгу Аi	Годовая срочная уплата Yi=Πi+Ai
1	40,000	2,4	7,096	9,496
2	32,904	1,974	7,522	9,496
3	25,382	1,523	7,973	9,496
4	17,409	1,044	8,451	9,496
5	8,958	0,538	8,958	9,496
Итого	----	7,479	40,000	47,48

 

 

Знание столбца П_i необходимо для вычетов из прибыли, подлежащей налогообложению.

Гасить долг можно не только равными частями (Y_i=const), но и любым другим способом. В частности, в руководствах по финансовой математике имеются многочисленные формулы, когда уплата долга изменяется по арифметической, геометрической прогрессии или другой закономерности.