Комплексные числа и действия над ними.

Более подробный теоретический материал и практические рекомендации по данной теме (№ 61-90) можно найти, например, в следующих учебниках: [1, т. 1, гл. VI, § 1, 2, с. 134 - 137; 3, т.2, § 5.3, с. 239-244].

Комплексными числами называются числа вида , где  – действительные числа,  – действительная часть,  – мнимая часть комплексного числа.

По определению, два комплексных числа:  и  – равны тогда и только тогда, когда и .

Комплексное число   называется сопряженным комплексному числу , если . Другими словами, если , то .

Всякому комплексному числу   можно поставить в соответствие единственную точку плоскости   и обратно, всякую точку   плоскости   можно рассматривать как геометрический образ единственного комплексного числа .

y                        М     0                               х          Рисунок 1

Для сокращения вместо “точка, соответствующая комплексному числу ”, говорят просто “точка ”. При этом множество всех действительных чисел изображается точками оси абсцисс, которая поэтому называется действительной осью, множество чисто мнимых чисел   точками оси ординат, называемой мнимой осью. Заметим, что одна точка мнимой оси, а именно начало координат,

изображает действительное число нуль. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением числа  радиус-вектор точки  – .

y   0          z3                     5    x     -2 z2     -5           z1   Рисунок 2

Пример 1. Построить точки , , . В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах, полезно иметь их представление в обобщенных полярных координатах. Рассмотрим число , которому на плоскости соответствует точка . Ее координаты в полярной системе координат .

y                                 M(x; y)                       ρ                                φ 0                                  x              Рисунок 3

Тогда          . . Полярный радиус  называется модулем комплексного числа и обозначается .

Полярный угол   называется аргументом комплексного числа и обозначается . Тогда 

.

Эта форма называется тригонометрической формой комплексного числа.

Модуль комплексного числа определяется однозначно: .

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного . Главным значением аргумента называется значение, заключенное в интервале . Обозначается оно . Таким образом, .

Очевидно, .

Главное значение аргумента определяется однозначно.

Так как , 

Тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь вид

.

Пример 2. Написать в тригонометрической форме комплексное число .

y   z             1     -1   0                    x           Рисунок 4

Решение. .

Пусть . Используя формулу Эйлера , получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа:

.

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число .

y          -1   0                                        x             z    -1                Рисунок 5

Решение

Пример 4. Вычислить .

Решение. По формуле Эйлера .