Модели магазина - линейной множественной регрессии (п.п. 9-16)

 

9) Найдём вектор b, составленный из трёх искомых параметров уравнения регрессии ŷ=b₀+ b₁ х₁ + b₂х₂:

 

Итак, ответ: b₀=-0,88; b₁ = 0,50; b₂ =1,63; искомое уравнение множественной – троичной - регрессии имеет вид:

ŷ = -0,88 + 0,50x1 + 1,63x2

(8.2)

 

10) Коэффициент регрессии b₁ уменьшился.В задаче №1 b₁=1,54, а теперь b₁=0,50. Причина: на объем продаж помимо торговой площади повлиялх₂ - площадь паркинга.

 

11) Рассчитаем значения коэффициентов эластичности для обоих факторов. Коэффициент эластичности для х₁ находится из формулы:  Если  то смысл этого значения: при увеличении х₁ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,30%. Аналогично  при увеличении х₂ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,86%. Вывод: фактор х₂ влияет сильнее, чем фактор х₁.

 

12)Оценим прогнозное среднее значение объема продаж для магазина "Рыба-8" с площадью х₁=11 (110кв.м) и паркинговой площадью х₂ = 8 автомобилей: ŷ = -0,88 + 0,50×11 + 1,63×8 = 17,66.

 

13) Найдём 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "Рыба-8" (или, что то же самое, для М_х(Y)). Формулы в матричной форме для расчёта дисперсииошибок s² идисперсиизначения регрессии s_ŷ²:

;                    

Таблица 8.1 – Промежуточные расчёты

xi1	xi2	yi	y ̂ i	ei	ei2
1	1	2	1,25	0,75	0,56
1	2	3	2,88	0,12	0,01
2	2	4	3.38	0,62	0,38
3	3	5	5.51	-0,51	0,26
4	3	5	6,01	-1,01	1,02
5	4	7	8,14	-1,14	1,30
8	6	14	12,90	1,10	1,21
24	21	40	40,07	-0,07	4,74

 

На основе таблицы 8.1 вычислим (напомним: =(1 11 8)):

По таблице В.1 находим критическое значение статистики Стьюдента

t_{0,95; 7-2-1}= 2,78. Полуинтервал D = t_{0,95; 4∙}s_ŷ = 2,78×1,46 = 4,06.

Нижняя граница интервала: ŷ_min =ŷ_Xo - D = 17,66 - 4,06 = 13,60.

Верхняя граница интервала: ŷ_mах =ŷ_Xo + D = 17,66 + 4,06 = 21,70. Окончательно, доверительный интервал для среднего прогнозного значения _Xo: 13,60£ М_Хo(Y) £ 21,70. Интервал большой, что объясняется короткой выборкой.

 

14) Рассчитаем значимость коэффициентов регрессии. Формула для расчёта СКО j-го коэффициента:

j=0; 1; 2,

где выражение под корнем есть jj-й  диагональный элемент матрицы А^-1.

Расчёт СКО:s_b1 =1,09  = 0,83; s_b2 = 1,09 = 1,28.

 

Таблица 8.2 – Проверка коэффициентов регрессии на значимость

Коэффи- циент	Формула	Значение СВ t	Критерий (5%-й уровень)	Вывод
b1	t = çb1-0ç/ sb1	0,50/0,83 = 0,60	0,60 <t0,95;4 = 2,78	Незначим
b2	t = çb2-0ç/ sb2	1,63/1,28 = 1,27	1,27<t0,95;4 = 2,78	Незначим

 

15) Найдём с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов регрессии b₁ и b₂ и дисперсии s².Интервалы коэффициентов регрессии рассчитываются по формуле: b_j+ t_1-a,n-p-1s_bj£b_j£b_j + t_1-a,n-p-1s_bj. Определим

₁=t_1-a,n-p-1s_b1=2,78 0,83=2,31; ₂=t_1-a,n-p-1s_b2=2.78 ,28=3,56. Искомые интервалы:

· для ₁: нижняя граница 0,50-2,31= -1,81; верхняя 0,50+2,31=2,81;

· для ₂: нижняя граница 1,63-3,56= -1,87; верхняя 1,63+3,56=5,13.

16) Определим коэффициент детерминации R²и проверим значимость уравнения регрессии на уровне a=0,05:

;

 

Уравнение регрессии значимо, если справедливо неравенство (критерий Фишера):

F = R² (n-p-1)/((1- R²) p) > F_a;k1;k2.

 

Левая часть неравенства: F=0,96(7-2-1)/(1-0,96)2 = 43,64. Табличное значение критерия Фишера-Снедекора: F_0,05;2;4 =6,94. Окончательно, имеем:

F=43,64 > F_0,05;2;4 =6,94

Вывод: наше уравнение значимо (нулевую гипотезу Н₀: β₁=0 и β₂=0 отвергаем, принимаем противоположную гипотезу: β₁ и β₂ значимо отличаются от нуля). Здесь налицо противоречие, которое объясняется мультиколлинеарностью наших факторов (см 8.1).

 

    (Конец решения сквозной задачи №2).