Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина - линейной парной регрессии (п.п. 1-4)

 

1) Постановка сквозной задачи №1 (одинакова для всех вариантов).ООО «Рыба» располагает семью небольшими магазинами «Рыба». Компания планирует создать 8-й магазин площадью 110кв.м. Менеджеры разрабатывают бизнес-план и, в частности, планируют:

· построить эконометрическую модель магазина.

· С помощью модели осуществить точечный прогнозсуточной выручки нового магазина,

· На модели осуществить точечный и интервальный прогноз суточной выручки.

· Исследовать полученную модель на достоверность.

 

2) Выбор варианта и исходных данных для задачи №1. Вариант состоит из двух букв. Первая буква выбирается по первой подходящей букве полного имени из набора: А, Е, И, О, Я; вторая буква - по первой подходящей букве фамилии из набора: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, О, П, Р. Пример: вариант для « Людм и лаИ в анова» - ИВ.

Исходные данные выписываются из таблиц А.1-А.5. По букве имени выбираем таблицу. В нашем примере это буква И - таблица А.3. Во 2-й графе таблицы А.3 находятся семь значений x_i – площади магазинов. По букве фамилии из соответствующего столбца – в нашем примере это В - выписываем значения переменной у_i - суточная выручка магазинов. К некоторым данным добавляется буква «г» - последняя цифра года, в котором получено задание (от 0 до 9).

Авторы для задач 1 и 2 использовали вариант АЪ, в таблице 3.4 исходные данные для него из таблицы А.1.

Таблица 3.4 – Исходные данные для сквозных задач примера – вариант АЪ

xi	1	1	2	3	4	5	8
yi	2	3	4	5	5	7	14

 

3) Нанесём в координатах ХY точки на плоскость (построим корреляционное поле), см рисунок 3.1. Делаем выводы: 1) точки корреляционного поля хорошо аппроксимируются прямой линией, 2) зависимость между Х и Y тесная и прямая. На этом основании выбираем в качестве модели магазина линейную функцию – уравнение парной регрессии:

ŷ=b0+b1x

(3.3)

 

Рисунок 3.1 – Наблюденные точки и линия регрессии

 

4) Найдёмзначения параметров b₁ и b₀уравнения регрессии по формулам (метод наименьших квадратов):

(3.4)

Расчёты удобно сводить в таблицу 3.5 (графы с 1-й по 6-ю)

Таблица 3.5 – Промежуточные расчёты (нижняя строка – итого)

xi	yi	x2	у2	xiyi	(xi-x ̄)2	y ̂xi	ei2=(y ̂ xi -yi)
1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	1	4	2	5,90	1,97	0,00
1	3	1	9	3	5,90	1,97	1,06
2	4	4	16	8	2,04	3,51	0,24
3	5	9	25	15	0,18	5,05	0,00
4	5	16	25	20	0,32	6,59	2,53
5	7	25	49	35	2,46	8,13	1,28
8	14	64	196	112	20,88	12,75	1,56
24	40	120	324	195	37,68	39,97	6,67

 

 

Вычислим средние арифметические:

(3.5)

 

Находим искомые оценки параметров регрессии и само уравнение регрессии:

b1= (27,86-3,43×5,71)/(17,14-11,76) =8,27/5,38=1,54 b0=5,71-1,54×3,43=0,43 =0,43+1,54x.

(Продолжение в разделе 4).

Тема №2 - начало. Парный регрессионный анализ

Вопросы для изучения. Метод наименьших квадратов и коэффициент корреляции. Основные предпосылки регрессионного анализа (теорема Гаусса-Маркова).

Определения, формулы, справки

А) Метод наименьших квадратов (МНК). Неизвестные параметры b_o и b₁ из (3.3) определяются с помощью МНК. Суть МНК состоит в отыскании оптимальных значений параметров b_o и b₁ таких, которые доставляют минимум сумме квадратов отклонений наблюденных значений y_i от теоретических значений ŷ, определяемых регрессией (3.3):

S(bo, b1) = å (ŷ-yi)2 = å (bo +b1xi - yi)2 ® min.

(4.1)

Для отыскания минимума Sприравняем нулю производные:

¶S/¶bo= 2å (bo +b1xi - yi) = 0 ¶S/¶b1 = 2å (bo +b1xi - yi) xi = 0.

(4.2)

После преобразований получаем систему из 2-х линейных уравнений с неизвестными оптимальными b_o и b₁:

bon + b1åxi  = å yi, boåxi  + b1å  = å xi yi.

(4.3)

Разделим 1-е уравнение на n и получим полезное выражение: линия регрессии проходит через точку средних (  , ):

= bo +b1x̄.

(4.4)

Из решения (4.3-4.4) получаем:

bo =  - b1  b1 =

(4.5)

где s_x² - выборочная дисперсия переменной Х:

= å /n - ()2.

(4.6)

- выборочная ковариация:

= å xi yi/n -

(4.7)

Б) Коэффициент парной корреляции r_xy. Формулы для его вычисления.

r = b1 sx/sy

(4.8)

Коэффициент корреляции отражает тесноту линейной статистической связи СВ Х и Y. Его свойства:

1) -1 £ r £ 1. Чем ближе модуль çrç к 1, тем теснее связь Х и Y.

2) Если r = ± 1, то связь между Х и Y - функциональная и линейная.

3) Если r = 0, то линейная корреляционная связи СВ Х и Yнет.

В) Основные предпосылки регрессионного анализа. Пусть для оценки параметров регрессии взята выборка из n пар (x_i, y_i). Тогда вероятностная (стохастическая) модель имеет вид:

yi = b0 +b1хi + ei.

(4.9)

Пять основных предпосылок:

1)В (3.9) ошибка e_i (а значит и y_i) есть величина случайная, а фактор х_i - неслучайная.

2)М(ei) = 0 и, следовательно, М(yi) = b0 +b1хi.

(4.10)

3) Должно выполняться условие гомо скедастичности (равноизменчивости) возмущения e_i для всех значений Х:

D(ei) = s2 = D(yi) = const.

(4.11)

4) Ошибки e_i и e_j (и переменные у _i и у _j) некоррелированы:

rei ejдлялюбыхiиj, i¹j.

(4.12)

5) Ошибки e_i (и переменная у_i) есть НРСВ.

Модель, для которой выполняются все пять предпосылок, называется нормальной классической линейной регрессионной моделью (НКЛРМ).

 

Работа с тестами

1 Метод наименьших квадратов основан на:

А сумме квадратов модулей отклонений значений y_i отŷ_i

Б сумме модулей квадратов отклонений значений y_i от ŷ_i

В сумме модулей отклонений значений y_i от ŷ_i

Г сумме квадратов отклонений значений y_i от ŷ_i

 

2 Результат МНК – система из 2-х линейных уравнений относительно:

А переменных x_iy_i

Б параметров b₀  и b₁

В возмущенийe_i e_j

Г СКО s_xи s_y

 

3 Оценки b₀  и b₁ оптимальные, потому что они:

А наибольшие

Б минимизируют функцию S(b_o, b₁) = å (ŷ_i- y_i)²

В максимизируют функцию S(b_o, b₁) = å (ŷ_i- y_i)²

Г наилучшие

 

4 Оценки b₀  и b₁

А несмещённые

Б состоятельные

В эффективные

Г имеют наименьшую дисперсию

 

5 Установить соответствие (b₀ и b₁ больше 0):

Зависимость у от х	Коэффициент парной корреляции rxy
А у=b0+b1 х	1) 0
Б у=b0-b1 х	2) -1
В х2+у2=R2	3) +1

 

6 Установить соответствие:

	Выборки	Коэффициент парной корреляции rxy
А	Х= 1, 3, 5, 10 и Y= 6, 8, 11, 15	1)  – 0,7
Б	Х= 1, 3, 5, 10 и Y= 13, 10, 7, 2	2)  +0,7

 

7 Оценка остаточной дисперсии s² при использовании МНК:

А несмещённая и состоятельная

Б несмещённая и эффективная

В состоятельная и эффективная

Г имеет наименьшую дисперсию

 

8 Три из пяти предпосылок парного регрессионного анализа:

А фактор Х – величина случайная

Б математическое ожидание ошибки равно нулю: М(

В выполняется условия гомоскедастичности: D()=const

Г возмущения некоррелированы: r_{ei ej}=0, i

 

 

4 .3 Решение задач и контрольные вопросы

    Задача 1. МНК. Уравнение (3.2) ¶S/¶b_o= 2å (b_o +b₁x_i - y_i) = 0 привести к виду (3.3) b_o n + b₁ åx_i = åy_i.

    Задача 2. МНК. Уравнение (3.2) ¶S/¶b₁ =2å (b_o +b₁x_i - y_i) x_i = 0 привести к виду (3.3) b_o åx_i + b₁ å  = åx_iy_i.

    Задача 3. Даны выборки двух СВ: Х= 1, 3, 5 и Y= 13, 10, 7. Рассчитать коэффициент корреляции, выполнить анализ алгоритма решения задачи:

1).Выбираем рабочую формулу, например,

2).Рассчитываем средние арифметические

3).Формула для расчёта дисперсий s_x² и s_y²: s_x²= /(n-1)

4).Подставляем все значения в рабочую формулу и вычисляем r_xy.

Задача 4. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение выручки для нового магазина с площадью х=11 на основе регрессионной модели =0,43+1,54x. Выполнить анализ алгоритма решения задачи:

1).В координатах XYстроим прямую линии для уравнения регрессии

ŷ_i=0,43+1,54x

2).Находим графически прогнозное значение выручки ŷ_iдля х=11

3).Вычисляем прогнозное значение выручки для х=11: ŷ_i=0,43+1,54×11=17,37

4) Результаты п.п 3 и 4 должны совпадать.

Задача 5. В рамках модели магазина дать точное определение переменным и на рисунке 2.1 показать их графические образы: у₂, , ₂, х₃, ₂-у₂, е₃, s_x, s.

 

Контрольные вопросы:

1) В чём суть метода наименьших квадратов

2) В каком смысле параметры регрессии, найденные с помощью МНК, можно называть оптимальными

3) Какие соображения возникают при анализе причин ненулевого значения параметра b₀ в модели магазина

4) Если коэффициент корреляции между Х и Y равен 0, то какие из этого можно сделать выводы.

5) В чём смысл условия гомоскедастичности

 

 

    4.4 Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина- линейной парной регрессии (п.п. 5-11)

 

5) Представим уравнение регрессии =0,43+1,54x графически в виде прямой линии на плоскости XY (например, по двум каким-либо точкам.

 

6) Покажем графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку средних значений (x̄,ȳ) переменных х и у (способ проверки правильности расчётов).

Графически: на рисунке 3.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” (x̄=3,43; ȳ=5,71).

Аналитически:ŷ=0,43+1,54×3,43 = 5,71, что и требовалось доказать.

 

7) Определим: насколько вырастет средний объем продаж при увеличении площади х на 1 (10 кв.м). Ответ даёт значение коэффициента регрессии b₁: объём продаж вырастет на 1,54 (15400 руб/день).

 

8) Определим: имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии. Ответ: свободный член b₀=0,43 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади (х=0) положительного объема продаж быть не может.

 

9) Вычислим промежуточные значения выражений _iи – графы 6 и 7 таблицы 3.2.

 

10) Вычислим коэффициент корреляции между переменными X и Y. Для этогоиспользуем данные из таблицы 3.2 и формулу:

(4.13)

Здесь нам известно все, кроме СКО в знаменателе. Выполним расчёты:

-дисперсия СВ Y
- СКОСВ Y	sу= =3,70;
- дисперсия СВ Х
- СКО СВ Х

 

Окончательно, коэффициент корреляции:

Большое значение коэффициента говорит о высокойзависимости суточного объема продаж Yот размера торговой площади X.

 

11) Определим графически и аналитически точечное прогнозное значение объема продаж для будущего магазина "Рыба-8" с торговой площадью х=11 (110кв.м).

Графически: из рисунка 3.1 видно, что

Аналитически: =0,43+1,54×11=17,37.

(Окончание в разделе 5).