Вычисление по данным карт погоды производных, градиентов, лапласианов и якобианов.

Вычисление производных. На картах погоды даже непрерывные поля метеорологических величин (например, бариче­ское поле) представлены дискретными значениями этих величии в пунктах наблюдения. В то же время функции F, определяющие зависимость величины f от координат, т. е. f=F (х,у), вообще говоря, неизвестны и для каждой карты имеют свой вид. Поэтому строгое вычисление производных от f заменяется приближенным — путем замены бесконечно малых приращений метеорологической величины f ее конечными разностями. Для этой цели на карту погоды наносят систему равноотстоящих точек, образующих расчетную сетку, узлами которой являются нанесенные точки. Начало координат, т. е. точка 0, является той точкой, для которой будем вычислять производные метеорологической величины f по ее значениям f₀, f₁, f₂, и т. д. в точках 0, 1, 2, 3 и т. д. Расстояние между соседними точками бs называется шагом сетки. Обычно принимают - 300 км, но в зависимости от характера решаемой задачи бs может иметь другое значение (от 100 до 1000 км).

Для вычисления производных в точке 0 применяются следующие формулы:

Перемещая начало координат из точки 0 в любую точку расчетной сетки и принимая эту точку за новое начало координат, можно вычислить производные для всех интересующих нас точек карты погоды.

Подобные расчеты могут быть произведены и вдоль вертикальной оси (например, путем использования результатов радиозондирования или информации, содержащейся на картах АТ различных уровней).

Вычисление градиентов. В качестве скалярного поля рассмотрим поле давления р (х, у, z). Тогда, как известно, gradp=  =др/дх* i +др/ду* j +др/д z * k. Рассматривая карту погоды как горизонтальную плоскость, по­лучим для нее gradp = др/дх* i +др/ду* j (1).Вычислив в данной точке др/дх и др/ду помощью формул (для производной) и отложив полученные значения в виде отрезков на осях координат, можем определить вектор gradp = др/дп

как диагональ параллелограмма, построенного на отрезках, изображающих др/дх и др/ду. Численно gradp =корень((др/дх)²+(др/ду)², п-нормаль В формуле (1) нормаль п направлена в сторону возрастающих значений р, тогда как в метеорологии принято нормаль направлять в сторону убывающих значений р (или другой скалярной величины). Поэтому вектор метеорологического градиента

т. е. направлен противоположно вектору , хотя по величине они и равны. В оперативной синоптической работе приведенный способ вы­числения р_и применяется редко. Чаще р _п определяется

1. Измеряется вдоль нормали расстояние между изобарами бп в сотнях километров. Тогда численно = бр/бп мбар/100 км.

2. Вдоль нормали к изобарам путем интерполяции определяются значения р₁ в точке 1 и р₂ в точке 2:

Рп | = | р₁ — р₂ | мбар/100 км.

Совершенно аналогично вычисля­ются градиенты геопотенциальных вы­сот по изогипсам карт АТ, а также горизонтальные градиенты температуры по изотермам.

Вычисление лапласианов. Наиболее часто вы­числяются операторы Лапласа по значениям р, Н и Т. Для поля геопотенциальных высот изобарической поверхности:

что после подстановки вторых производных приводит к фор­мулам типа:

Аналогичные выражения имеют место для .

Вычисление якобианов. Оператор Якоби представляет определенную комбинацию горизонтальных производных двух функций. Пусть, например, этими функциями являются Н и Т. Тогда оператор Якоби:

Применяя выше указанные ф-лы, получаем:

Якобианы типа (Н, Т) часто встречаются в прогностических за­дачах при вычислении адвективных изменений метеорологических величин.