Какое значение приняла случайная величина?

Пусть нам требуется «разыграть» значение случайной величины Х, имеющей известный закон распределения. Случай, когда величина Х дискретна (т.е. имеет отдельные значения х₁,х₂,…х_k с вероятностями р₁,р₂,…р_k) рассматривать не будем, т.к. он сводится к предыдущему пункту 2. Рассмотрим случай, когда случайная величина Х непрерывна и имеет заданную непрерывную функцию распределения F(x) (рис.)

Докажем следующее утверждение: если взять на оси ординат случайное число R (от 0 до 1) и найти то значение Х, при котором F(x)=R, то полученная случайная величина Х будет иметь функцию распределения F(x).

Действительно, возьмем случайную величину Х и найдем её функцию распределения, т.е. вероятность Р(Х < х). Из рисунка видно, что для того, чтобы выполнялось неравенство Х< х, величина R должна принять значение, меньшее, чем F(x). Р(Х< х)= P(R< F(x)). Но случайное число R имеет постоянную плотность распределения f(r), равную 1 на отрезке (0,1); значит

, что и требовалось доказать.

Т.о. розыгрыш значения случайной величины Х с заданной функцией распределения F(x) сводится к следующей процедуре: получить случайное число R от 0 до 1 и в качестве значения Х взять X=F^-1(R), где F^-1 – функция, обратная по отношению к F.

Пример 1. Случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью f(x)=le^-lx (x>0). Построить процедуру единичного жребия для получения значения Х.

По заданной плотности f(x) находим функцию распределения:

(x>0).

График F(x) дан на рисунке.

Графически значение случайной величины Х можно разыграть так: взять случайное число от 0 до 1 на оси ординат и найти соответствующее ему значение абсциссы Х. Это же можно сделать расчетом, если написать: R=1-e^-lX и решать это уравнение относительно Х (т.е. найти обратную по отношению к F функцию). Имеем e^-lX=1-R, -lX=ln(1-R)ÞX= ln(1-R). Эту формулу можно упростить: вспомним, что если R – случайное число от 0 до 1, то (1-R)- также случайное число от 0 до 1, поэтому можно взять X = lnR. Т.о. процедура розыгрыша сводится к следующему: взять случайное число от 0 до 1, прологарифмировать его при натуральном основании, изменить знак и разделить на l.

Пример 2. Розыгрыш значения случайной величины, распределенной по нормальному закону (короче – «нормальной») с математическим ожиданием m_x и средним квадратичным отклонением . Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

.

Удобнее применить не общее правило, а поступить иначе: перейти от Х к другой (т.н. «нормированной») случайной величины Z= , разыграть значение этой величины, а затем уже по ней найти Х. Это удобно потому, что m_z=0, и придется только один раз и навсегда найти обратную функцию. Легко показать, что значение нормальной случайной величины Х с характеристиками m_x, разыгрывается по формуле:

,

где Ф^-1 – функция, обратная функции Лапласа. Есть и другой способ, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей. Согласно этой теореме, при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, сравнимых по своим дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону, причем этот закон тем ближе к нормальному, чем больше случайных величин складывается (для большинства прикладных задач достаточно складывать 6 случайных величин от 0 до 1). В результате получается следующая процедура

.