Точечные статистические оценки числовых характеристик случайной величины

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака  извлечена выборка объема  и известно статистическое распределение выборки:

			…
			…

Выборочной средней называется число .

Выборочной дисперсией называется число .

Выборочным средним квадратическим отклонением называется число .

Для вычисления выборочной дисперсии удобно использовать формулу .

Исправленной выборочной дисперсией называется число .

Исправленным выборочным средним квадратическим отклонением  называется число, равное квадратному корню из исправленной дисперсии .

Выборочная средняя  является точечной статистической оценкой генеральной средней, то есть математического ожидания случайной величины . Термин «точечная» означает, что генеральная средняя оценивается одним числом. Выборочная дисперсия  и исправленная выборочная дисперсия  являются точечными статистическими оценками генеральной дисперсии, то есть дисперсии случайной величины . На практике при малом объеме выборки () пользуются исправленной выборочной дисперсией . При достаточно большом объеме выборки  числа  и  различаются мало, поэтому для оценки генеральной дисперсии можно использовать как , так и .

Чем больше объем выборки , тем более верными будут точечные оценки математического ожидания и генеральной дисперсии.

Пример 1. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки:

	2	3	4	5
	6	8	4	2

В данном примере объем выборки , число вариант .

;

;

;

;

.

Если статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы частот, то при вычислении выборочных характеристик в качестве  берут середины частичных интервалов, а в качестве частот – частоты соответствующих интервалов.

Для записи промежуточных результатов вычислений при нахождении выборочных характеристик удобно использовать вспомогательную таблицу.

Пример 2. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, если статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы частот:

	5	2	10	13	11	6	3

Составим вспомогательную расчетную таблицу. Числа третьего столбца этой таблицы получаются в результате умножения чисел первого и второго столбцов, а числа четвертого столбца – умножения чисел первого и третьего столбцов.

Середины интервалов	Частоты
48	5	240	11520
64	2	128	8192
80	10	800	64000
96	13	1248	119808
112	11	1232	137984
128	6	768	98304
144	3	432	62208
Сумма	50	4848	502016

Используя сумму, найденнуюв третьем столбце таблицы, вычислим выборочную среднюю:

.

Используя сумму значений четвертого столбца, найдем выборочную дисперсию:

.

Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Выборочной модой  называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.

Пример 3. Для выборки из примера 1 , так как этой варианте соответствует наибольшая частота .

Пусть дана выборка объема . Запишем элементы выборки в порядке возрастания: . Если в этойвыборке нечетное число элементов, то выборочной медианой  называется значение , стоящее в центре ряда. Если в выборке четное число элементов, то есть , то выборочной медианой  называется среднее арифметическое двух значений, стоящих в центре ряда, то есть .

Пример 4. По данным выборки найти выборочную медиану: а) 5, 8, 2, 6, 2, 10, 8, 3, 1; б) 35, 25, 10, 35, 45, 15, 20, 40.

а) Запишем элементы выборки в порядке возрастания: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 8, 10. В этой выборке нечетное число элементов. В центре ряда стоит число 5. Следовательно, .

б) Запишем элементы выборки в порядке возрастания: 10, 15, 20, 25, 35, 35, 40, 45. В данной выборке четное число элементов, поэтому медиана будет равна среднему арифметическому двух элементов, расположенных в центре записанного ряда, то есть .

Задачи

1. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки:

	2	3	4	5
	3	13	8	6

2. Найти выборочную среднюю и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение по данному распределению выборки:

	1	3	6	8	10
	5	2	8	3	2

3. Найти выборочную моду и выборочную медиану по данным выборки: 20, 23, 21, 20, 23, 22, 21, 21, 23, 21, 22, 24, 25, 21, 22, 23.

4. Найти выборочную моду и выборочную медиану по данным выборки: 7, 2,8,6,5,2,7,2,3,8,5,6,5,5,6.

5. Случайно отобранные учащиеся старших классов школ города выполняли контрольную работу, результаты которого оценивались по десятибалльной шкале. Были получены следующие баллы: 9, 7, 5, 10, 6, 8, 7, 10, 8, 6, 7, 9, 5, 7, 6, 8, 7, 5, 9, 8, 7, 6, 9, 8, 6, 7, 9, 8, 10, 8, 7, 9, 6, 7, 8, 7, 9, 5, 8, 7. Требуется: а) найти распределение частот и распределение относительных частот; б) построить полигон частот и полигон относительных частот; в) найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочную моду и выборочную медиану.

6. В таблице приведены результаты измерения роста (в см) случайной отобранных 100 студентов. Найти выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение роста обследованных студентов.

Рост	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число студентов	4	8	24	30	18	10	6

Ответы

1. . 2. ; . 3. , . 4. , . 5. в) ; ; ; ; ; ; . 6. .