Лекция 5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называется функция , которая является первой производной от функции распределения , то есть

.

График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения.

Иногда плотность распределения вероятностей  называют дифференциальной функцией распределения, а функцию распределения  – интегральной функцией распределения.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Для любых  плотность распределения вероятностей  неотрицательна, то есть .

2. Для плотности распределения вероятностей имеет место равенство: .

3. Для плотности распределения вероятностей имеет место равенство: .

4. Для функции распределения и плотности распределения вероятностей имеет место равенство: .

Свойство 2 геометрически означает, что площадь фигуры, ограниченной осью , кривой распределения и прямыми  и , равна вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу .

Свойство 3 означает, что площадь фигуры, ограниченной осью  и кривой распределения , равна единице.

Свойство 4 позволяет найти функцию распределения , зная плотность распределения .

Пример 1. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:

Найти вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу .

Воспользуемся для нахождения вероятности свойством 2 плотности распределения вероятностей.

.

Пример 2. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:

Найти постоянный параметр .

Используя свойство 3 плотности распределения вероятностей, можем записать: .

Вычислим определенный интеграл:

.

Значит, . Окончательно получаем .

Задачи

1. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:

Найти вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу .

2. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Найти вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу .

3. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу: а) ; б) ; в) ; г) .

4. Является ли плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

а)

б)

5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Найти постоянный параметр С.

6. Случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:

Найти постоянный параметр С.

Ответы

1. 0,75. 2. . 3. а) 0,5; б) 0,5; в) ; г) 1. 4. а) нет; б) нет. 5. 1. 6. .

 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей .

Математическое ожиданиенепрерывной случайной величины  определяется равенством:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины  определяется равенством:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

.

Предполагается, что все несобственные интегралы сходятся абсолютно.

Свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные для дискретных случайных величин (п. 2.8), справедливы и для непрерывных случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной величины, равенством .

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины , заданной функцией распределения:

Найдем плотность распределения вероятностей величины :

Найдем математическое ожидание:

.

Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

;

.

Задачи

1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной функцией распределения:

2. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной плотностью распределения вероятностей:

3. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины :

Найти: а) постоянный параметр С; б) математическое ожидание величины .

4. Случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:

Найти: а) ; б) .

5. Случайная величина  задана функцией распределения:

Найти .

Ответы

1. , . 2. , . 3. а) ; б) . 4. а) 1; б) 12. 5. .