Исследование ряда измерений на степень независимости

                  

В практическом смысле независимость в ряде измерений предполагает отсутствие значимой связи между элементами ряда. Степень связи между элементами ряда определяется автокорреляцией лага п. Наиболее часто встречается автокорреляция (корреляция внутри ряда) между соседними измерениями, 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 и т.д., то есть автокорреляция лага 1. Самым известным и используемым тестом на такого рода зависимость является критерий Дарбина-Уотсона, которая характеризует тесноту связи между рядом стоящими элементами ряда измерений. Для вычисления практической величины критерия – статистики Дарбина-Уотсона – выполняют следующие шаги:

– используя любой известный способ строят линейную модель для ряда измерений, например, вида (y_i) _мод = a ∙ i + b и находят величины отклонения от модели (остатки) v_i = (y_i) _мод – y_i;

– по величинам остатков v_i вычисляют статистику DW критерия Дарбина-Уотсона как одну из характеристик тесноты связи между рядом стоящими элементами ряда измерений y_i

;                               (38)

 

 

–  по вычисленной статистике DW Дарбина-Уотсона делается вывод о виде и значимости тесноты связи между рядом стоящими элементами, или автокорреляции ряда лага 1.

Доказано, что  статистика DW Дарбина-Уотсона тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции между рядом стоящими элементами ряда остатков :

                                   (39)

 

откуда в частности имеем формулу для коэффициента корреляции

 

.                                      (40)

 

Анализируя формулы (39) и (40) можно сделать следующие выводы:

                             

если » 0 (отсутствие автокорреляции), то DW» 2,

если » 1 (положительная автокорреляция), то DW» 0,

если » –1 (отрицательная автокорреляция), то DW» 4.

Исходя из этого, делают приближенный вывод о возможности того или иного исхода. Можно считать (грубовато, но часто достаточно для практических нужд), что если 1.5 < DW < 2.5, то автокорреляция практически отсутствует. Результаты тем надежней, чем ближе статистика DW к ключевым точкам. Для более точного анализа существуют статистические таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона.

Возможен и другой вариант анализа независимости элементов ряда измерений. По статистике DW Дарбина-Уотсона вычисляют оценку выборочного коэффициента корреляции  по формуле (40) и его проверяют по известным формулам на степень отличия от -1, 0 или 1.

Кроме критерия Дарбина –Уотсона, параметрического по своей сути, можно использовать и непараметрические критерии, такие как критерий знаков, или критерий серий.

 

 

Пример исследования ряда на независимость

.Для исследования ряда на независимость по критерию Дарбина-Уотсона  воспользуемся полученной ранее линейной моделью ряда в зависимости от номера i

 

 

и величинами остатков v_i = (h_i) _мод – h_i   в м

 

.

 

Последовательные разности остатков, т.е. величины v_i – v_{i - 1} (т.е. 2 остаток минус 1, 3 минус 2, 4 минус 3 и т.д.) получим используя функцию diff в Matlab для вычисления последовательных разностей

 

pr=diff(v),

 

а их сумму квадратов для формулы (39) как

spr2=pr'*pr,

 

которая для нашего ряда остатков равна 0.000479. Знаменатель (39), сумма квадратов остатков, вычислим в Matlab как

 

sv2=v'*v,

 

которая будет равна 0.000299. Тогда по (39) статистика Дарбина-Уотсона для выявления степени независимости между соседними элементами ряда измерений будет

 

,

а выборочный коэффициент корреляции  между соседними остатками по статистике DW из (40)

 

.

 

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что так как статистика DW = 1.60 ≈ 2, = 0.20 ≈ 2 и 1.5 < DW = 1.60 < 2.5 то автокорреляцию в ряде измерений можно практически считать равной нулю, а ряд практически независимым.