Обработка результатов многократно измеренной неравноточной величины

 

Пусть имеем ряд независимых измерений x ₁, x ₂, …, x_n  с весами, соответственно равными p ₁, p ₂, …, p_n. Веса p_i вычисляют исходя из условия задачи и вида исходных данных. В этом случае наилучшей оценкой для математического ожидания , а в случае отсутствия систематических погрешностей - для истинного значения Х будет так называемая среднее взвешенное (общая арифметическая середина, второе среднее по Кемнецу)

 

,                                     (10)

 

а для оценки стандартного отклонения единицы веса σ₀ (старое название средней квадратической погрешности единицы веса μ) –

 

                              (11)

 

(формула Бесселя для неравноточных измерений), где, как и ранее, , а е – вектор-столбец из n (по числу измерений) единиц. Отклонения v_i от среднего взвешенного также обладают свойствами, аналогичными (3) .

    Величина  определяется с точностью

 

,                      (12)

 

а в случае наличия систематических погрешностей θ

 

.                                     (12а)

 

    Для оценки качества оценок (11) и (12) имеют место формулы

 

,                                     (13)

и

.                                          (14)

 

    Доверительные интервалы для истинного значения Х, стандартного отклонения единицы веса и погрешности среднего взвешенного строятся аналогично тому, как это делается при обработке равноточных измерений:

 

,                           (15)

                          

для истинного значения измеряемой величины и

 

    ,                                        (16)

 

                                    (17)

 

для истинных (теоретических) значений точностных характеристик  и .

        

Вычисления при обработке ряда неравноточных измерений выполняются в следующем порядке.

1. Вычисляют веса измерений исходя из сути задачи и значение среднего взвешенного с контролем суммы уклонений;

2. Вычисляют погрешность единицы веса;

3. Вычисляют погрешности среднего взвешенного, погрешность погрешности единицы веса и погрешность погрешности среднего взвешенного и делают выводы о качестве оценок исходя из того, что оценки оценок при достоверном значении должны отличаться хотя бы в 2 раза по величине. Заметим, что оба значения  (принятое для вычисления весов и полученное по формуле должны совпадать в пределах погрешности . Их расхождение на величину, большую чем , может указывать на наличие какого-либо дополнительного влияния, например в виде систематических погрешностей;

    4. Вычисляем интервальные оценки при заданной доверительной вероятности от 0.90 до 0.95 для истинного значения определяемой величины;

5. Вычисляем интервальные оценки при заданной доверительной вероятности от 0.90 до 0.95 для теоретических значений погрешности единицы веса и погрешности среднего взвешенного  и .

 

Пример обработки неравноточных измерений

1. Из таблицы исходных данных видим, что превышение в каждой секции определялось разным количеством станций n_i – то есть в разных условиях, что необходимо учесть введением соответствующего веса p_i. В данном случае он может быть получен как , где с – константа, например равная 1, 5, 10, или др. Приняв с = 10, имеем наиболее вероятное значение в виде среднего весового

 

 

2. Погрешность одного измерения или ошибка единицы веса будет

 

 

3. Погрешность среднего весового

 

 

Определим погрешности единицы веса и погрешности среднего арифметического для выявления степени их надежности

 

 

.

4. Доверительный интервал для истинного значения определяемой величины при тех же вероятностных условиях будет

 

 

5. Доверительные интервалы для истинного стандарта и истинной погрешности среднего взвешенного будут

.

Задача эталонирования

 

Такого рода задачи возникают в ситуации, когда не известны точностные характеристики средства измерения, но имеется эталон измеряемой величины (например, в виде компаратора). Тогда, произведя n измерений эталона, возможно вычислить как-бы истинные погрешности, считая значение эталона достаточным приближением к истинному значению. В этом случае для оценки качества измерений (точности прибора) пользуются формулой Гаусса, предварительно получив истинные погрешности

 

     ,                                        (18)

 

.                                            (19)

 

Здесь Х – приближение к истинному значению измеряемой величины в виде эталона. Полученное значение σ и является погрешностью прибора в виде стандартного отклонения (СКП), если отсутствуют значимые грубые или систематические влияния. Значимость грубых ошибок достаточно хорошо в этом случае может быть оценена по правилу трех сигм:

 

,                                              (20)

 

где погрешность  получена из (2). Все измерения, выходящие за этот интервал можно считать грубыми и не включать в обработку.

Значимость систематического влияния определяется на основе выполнения неравенства

 

,                                           (21)

 

где  – погрешность среднего арифметического из истинных погрешностей D _i. Очевидно, что при отсутствии систематического влияния, величина среднего должна точно равняться нулю.

При невыполнении неравенства (21) получают новый ряд, в среднем свободный от систематического влияния как

                  

                                                  ,                                        (22)

 

а оценку точности проводят по формуле Бесселя (2).