Продольная и поперечная ошибка полигонометрического хода. Вывод.

В полигонометрическом ходе любой формы невязки в приращениях координат определяют по известным формулам

Абсолютная линейная невязка fs в периметре хода будет равна

В вытянутом полигонометрическом ходе для невязки fs можно получить другое выражение. где t- продольная невязка, является следствием накопле­ния ошибок линейных измерений; u — поперечная невязка — следствие накопления оши­бок измерения углов.

Ошибки измерения линий составят величину продольной невязки t=dL=[ds],

ее ско:

Установим связь между поперечной невязкой и ошибками в углах. Если в первом угле имела место ошибка , то при безошибочности всех остальных углов последняя точка хода Р(n+1) переместится перпендикулярно к направлению хода на величину под влиянием ошибки , допущенной во втором угле, точка Р(n+1) сместится на величину и т. д. и, наконец, под влиянием ошибки в угле смещение точки выразится через

подставим

Предположим для простоты расчетов, что все стороны хода примерно равны между собой: тогда

Переходя к средним квадратическим ошибкам

Преобразуем полученное выражение. Умножим числитель и знаменатель правой части на n и положим sn = L; тогда

Из полученной формулы следует, что средняя квадратическая поперечная невязка хода зависит от длины хода, количества линий в нем и точности измерения углов.

23) СКО положения конечной точки вытянутого хода, углы предварительно не исправлены за невязку. Вывод.

Вектор М - сред­няя квадратическая ошибка положения конечной точки полигонометрического хода:

где

формула 2

ошибка в последнем угле рл+1 не оказывает влияния на величину поперечной невязки (что вполне понятно, так как исправление углов за невязку в углах не производилось), т. е. ход считается как бы висячим.

средняя квадратическая ошибка положения конечной точки вытянутого висячего полигонометрического хода зависит от точ­ности измерения линий и углов в ходе, длины хода и количества линий в нем.

24) СКО положения конечной точки изогнутого хода, углы предварительно не исправлены за невязку. Вывод.

Вытянутая форма хода, как было установлено ранее, — это частный случай полигоно­метрического хода, который может иметь любую форму, следова­ тельно, и полученная формула будет действовать только в этом частном случае. В ходе изогнутой формы будут иметь место невязки f'x и f'y, и невязка в периметре выразится формулой

Предположим, что для одного и того же хода k раз измерены все углы и все линии. В соответствии с этим можно найти k значе­ний для невязок f'x и f'yi а следовательно, и k значений для не­вязки f's в периметре. В результате будем иметь k равенств

Каждый член равенства представляет собой соответствующее среднее квадратическое значение.

Для установления связи величины М ' со средними квадрати­ческими ошибками измерения линий ms и углов mβ воспользуемся без вывода так называемыми координатными услов­ными уравнениями, вывод которых сделаем при рас­смотрении уравнивания полигонометрического хода. Если ход изогнутой формы, а углы предварительно не исправ­лялись за невязку, координатные условные уравнения будут следующие:

где аi,- — дирекционный угол линий хода; vSi и vβi — соответ­ственно поправки в измеренные значения линий и углов; хп+1 — хi и Уп+1 — yi — разности координат между конечной и каждой точкой хода; f'x и f'y — невязки в приращениях координат — суть истинные ошибки в координатах конечного пункта проложенного полигонометрического хода.

Учитывая, что поправка и ошибка различаются между собой знаком, можно записать

Тогда

Переходя по правилам теории ошибок к средним квадратическим ошибкам

Средняя квадратическая ошибка в положении конечной точки хода М '

D n+1,i— расстояние между послед­ней и i-й точками хода.

формула 1

Следует, что средняя квадратическая ошибка положения конечной точки висячего изогнутого полигоно­метрического хода зависит не только от ошибок измерений, но и от степени изогнутости хода и количества углов поворота в нем.

Величина [D²n+1,i] будет тем меньше, чем больше изогнут ход и чем меньше в нем углов поворота. Следует отметить, что формула применима к любой точке висячего хода, причем под п должно подразумеваться число линий от начальной точки до опре­деляемой.

Вывод приведенной выше формулы был сделан в предположении, что исходные данные в ходе не содержат ошибок. Только в этом случае ошибка в положении конечной точки полигономе­ трического хода будет в то же время и невязкой этого хода. В действительности исходные данные (координаты и дирекционные углы) сами содержат ошибки и поэтому между указанными выше величинами невязки и ошибки будет некоторая разница. Формула средней квадратической ошибки в положении конечной точки хода в этом случае будет учитывать и ошибки полевых измерений, и ошибки исходных данных

где m_ан — средняя квадратическая ошибка дирекционного угла а н; Щн-к) — средняя квадратическая ошибка конечного пункта Тк по отношению к пункту Tк.

переход от формулы средней квадратической ошибки для хода любой формы к аналогичной формуле для вытянутого хода. Полагая, что линии в вытянутом полигонометрическом ходе равны между собой, величину [D²n+1,i] можно представить в виде

С учетом полученной величины формула (1) примет такой же вид, как и формула (2).

25) СКО положения конечной точки вытянутого хода, углы предварительно исправлены за невязку. Вывод.

Положим, что вытянутый ход имеет n-равных линий s, причем n- число четное, тогда центр тяжести хода будет лежать в его середине. Значит

Сумма в фигурных скобках есть сумма квадратов чисел натурального ряда от 1 до (n/2)^2, которая равна

Умножим числитель и знаменатель на п и, учитывая, что , получим Разделив теперь в полученном выражении каждый член в числителе и знаменателе на n и отбросив по малости величину 2/n найдем

формула для средней квадратической ошибки положения конечной точки вытянутого полигонометрического хода будет иметь вид

При наличии ошибок в.исходных дирекционных углах и координатах формула будет иметь вид

26) СКО положения конечной точки изогнутого хода, углы предварительно исправлены за невязку. Вывод