Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод.

Простейшая нивелирная сеть состоит из трех одиночных ходов, сходящихся в одной узловой точке и опирающихся на исходные марки нивелирования высших классов.

Пусть от марок А, В, С с известными высотами проложены нивелирные ходы z1, z2 и z3, сходящиеся в узловой точке N. Ходы имеют измеренные превышения и длину соответственно h1,h2, h3 и L1, L2, L3. Определим наиболее надежное значение высоты узловой точки N.

веса можно вычислить как

(в числителе вместо единицы берут коэффициент, равный с, удобный для вычислений)

Из трех неравноточных значений вычисленных высот наиболее надежная величина определяется как среднее весовое по формуле

При вычислении по этой формуле ей удобно, выделяя приближенное значение Н0 искомой высоты, придать вид

получим поправки (или невязки с обратным знаком) нивелирных ходов, которые и распределим затем в каждом ходе по правилам одиночного нивелирного хода,

Найденные поправки контролируем равенством или при наличии ошибок округлений где β — предельная ошибка округления при вычислении поправок.

Оценку точности полевых измерений произведем, используя величины v. Среднюю квадратическую ошибку единицы веса находим по формуле

где п — число нивелирных ходов; k — число узловых точек.

Надежность ошибки единицы веса находим по выражению

Средняя квадратическая ошибка превышения по ходу в 1 км определится по формуле

Среднюю квадратическую ошибку уравненного наиболее надежного значения высоты узловой точки получим по формуле

где

Средняя квадратическая ошибка самой ошибки уравненного значения высоты репера будет равна

14) Уравнивание нивелирной сети способом последовательных приближений. Оценка точности. Вывод.(на примере)

Рассмотрим нивелирную сеть, изображенную на рис. Соответственно параметрическому способу метода наименьших квадратов обозначим неизвестные высоты точек Е и F через к и у и для пяти ходов сети, направление которых показано стрелкой, составим пять параметрических уравнений поправок

Наложив на величины v условие согласно правилам указанного метода по числу неизвестных получим два нормальных уравнения, которые в свернутом виде запишутся так:

Запишем уравнения почленно, учитывая, что в данном случае все коэффициенты при х и у в уравнениях поправок равны ± 1:

в первом уравнении величины поправок v берутся только для тех ходов, которые

начинаются или оканчиваются в узловой точке Е, а во втором — которые начинаются или оканчиваются в точке F.

Перепишем первое уравнение в виде

В этом уравнении (-v3) — искомая поправка хода, идущего из точки F в точку Е. Тогда уравнения в свернутом виде можно записать так:

В данном случае х и у определены из весовой арифметической средины, так как

по теории ошибок алгебраическая сумма произведений поправок v, являющихся разностью между значением, полученным по формуле весового среднего, и каждым вычисленным, на соответствующие веса равна нулю при любом числе измерений.

Следовательно, можно написать

Первое приближение высоты Н’е точки Е можно определить по первой формуле, полагая, что Н'f = 0, и не учитывая в знаменателе р3,

Первое приближение высоты H'f точки F определим по второй формуле с учетом уже полученного значения Н'е

второе приближение

От второго приближения переходим к третьему, четвертому и т. д Вычисления продолжаются до тех пор, пока новое приближение не даст практически (впределах точности округлений) такие же результаты, как и предыдущие.

Первое приближение высот точек Е и F можно получить по другим формулам

для конечной цели это не имеет значения, однако число приближений

при этом увеличится.

На практике при применении этого способа используют формулу среднего весового, причем для сокращения вычислительной работы сумму весов в каждой группе ходов,

примыкающих к узловой точке, приравнивают единице. Для этого каждое из значений веса хода делят на сумму весов группы ходов. В общем случае формулу можно записать так:

тогда

Оценку точности полевых измерений в способе последовательных приближений производят по тем же формулам, что и в способе эквивалентной замены. Оценка точности уравненных значений в этом способе затруднена. Веса уравненных высот узловых точек можно найти или способом эквивалентной замены, или способом приближений, предложенным доц. В. П. Козловым, по следующим общим формулам: