Метод Эйлера численного интегрирования дифференциального уравнения. Алгоритм, блок-схема. Недостатки метода.

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.

 

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M₀(x₀,y₀) равен

y ₀¢ = f (x ₀, y ₀).

Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h.

Уравнение касательной к кривой в точке M

имеет вид

y - y

= y ¢

(x - x

) или

y = y

+ y ¢

(x - x

), откуда y =y +hf(x,y

).

1

0

0

0

Аналогично, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке

y ₁¢ = f (x ₁, y ₁).Точку M₂(x₂,y₂) получим соответственно

y₂=y₁+hf(x₁,y₁).

Продолжая вычисления по данной схеме, получим формулы Эйлера для приближенного решения задачи Коши с начальными данными (x₀,y₀) на сетке отрезка [ a, b ] с шагом h:

xi=xi-1+h	yi=yi-1+hf(xi-1,yi-1).	(4)
Графической	иллюстрацией приближенного решения	является ломаная,

соединяющая последовательно точки M₀, M₁, …,M_m, которую называют ломанойЭйлера.

y	M4
M2	M3
M1

M₀

O	x0	x1	x2	x3	x4	x

Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

d £

max

¢¢

× h

×

b - a

,

(5)

y (x)

2 a £ x £ b

h

é0,

× (b - a)ù

которое можно представить в виде d=Ch, где С Î

max

y ¢¢(x)

. Таким

ê

2 a £ x £ b

ú

ë

û

образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в

точке xi Î[ a, b ] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге:

y (xi)

æ h

ö

yi

(h)- yi (h / 2)

(6)

- yi ç

÷

»

2 P -1

è 2

ø

где P – порядок точности численного метода.

Таким образом, оценка полученного результата по правилу Рунге вынуждает проводить вычисления дважды: с шагом h и h/2, причем совпадение десятичных знаков

в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными. program Eiler;

 

var x,a,b,h,y:real;

m,i:integer;

function f(x,y: real): real;

begin f:=cos(x);

end;

 

begin writeln('Введите значения концов отрезка [a,b]'); readln(a,b);

 

writeln('Введите начальное значение y0=y(x0)');readln(y);

writeln('Введите число значений функции на промежутке [a,b]'); read(m);

x:=a; h:=(b-a)/m;

for i:=0 to m do

begin writeln (x:10:3, y:15:4);

y:=y+h*f(x,y); x:=x+h

 

end; readln;

end.

 

Методы Рунге-Кутта. Расчетные формулы, алгоритм, блок-схема, погрешность метода.

Численные методы решения задачи Коши y ¢ = f (x, y), y(x₀)=y₀ на равномерной

 

сетке { x0=a, x1, x2, …,	xm=b }отрезка[ a, b ]с шагом h =	b - a	являются методами Рунге-
m
Кутта, если, начиная с данных y(x0)=y0	решение ведется по следующим рекуррентным
формулам:
xi = xi -1+ h;		yi = yi -1+ D yi -1	(i=1, 2, …, m)	(7)
P		k [ ji -1]= hf (xi -1+ c j h, yi -1+ c j k [ ji --11])
D yi -1=å d j k [ ji	-1] ,

j =1

 

Метод называют методом Рунге-Кутта порядка P, если он имеет P -й порядок точности по шагу h на сетке.

 

Метод Эйлера можно назвать методом Рунге-Кутта первого порядка.

 

Метод Рунге-Кутта второго порядка называют методом Эйлера-Коши, если P=2,

c1=0,

c2=1,

d1=d2=1/2

xi = xi -1+ h;

yi = yi -1+ D yi -1

(i=1, 2, …, m)

(8)

D yi -1=

(k 1[ i -1]

+ k

2[ i -1])

k 1[ i -1]= hf (xi -1, yi -1) k 2[ i -1]= hf (xi -1+ h, yi -1+ hf (xi -1, yi -1))

Для практической реализации погрешности решения можно применять правило

æ h ö

yi (h)- yi (h / 2)

Рунге, полагая P =2:

y (xi)- yi ç

÷

»

è

2 ø

 

Программа решения дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши:

 

program Eiler_Koshi;

var x,a,b,h,y,z:real;

m,i:integer;

function f(x,y: real): real;

begin f:=cos(x); end;

 

begin writeln('Введите значения концов отрезка [a,b]'); readln(a,b); writeln('Введите начальное значение y0=y(x0)');readln(y);

 

writeln('Введите число значений функции на промежутке [a,b]'); read(m);

 

x:=a; h:=(b-a)/m;

for i:=0 to m do

begin writeln (x:10:3, y:15:4);

 

z:=y+h*f(x,y);

y:=y+h*(f(x,y)+f(x+h,z))/2;

x:=x+h

end; readln; end.