Первое достаточное условие локального экстремума

Теорема 1 (первое достаточное условие локального экстремума). Пусть функция  определена на  и дифференцирована на этом интервале везде за исключением, возможно, точки , но в этой точке  функция является непрерывной. Если существуют такие правая и левая полуокрестности точки , в каждой из которых  сохраняет определенный знак, то

1) функция  имеет локальный экстремум в точке , если  принимает значения разных знаков в соответствующих полуокрестностях;

2) функция  не имеет локальный экстремум в точке , если справа и слева от точки  имеет одинаковый знак.

Доказательство. 1) Предположим, что в полуокрестности  производная , а в .

 

 

 

Таким образом в точке  функция  имеет локальный экстремум, а именно - локальный максимум, что и нужно было доказать.

2) Предположим, что слева и справа от точки  производная сохраняет свой знак, например, . Тогда на  и  функция  строго монотонно возрастает, то есть:

,

 

.

 

Таким образом экстремума в точке  функция  не имеет, что и нужно было доказать.

Замечание 1. Если производная  при прохождении через точку  меняет знак с «+» на «-», то в точке  функция  имеет локальный максимум, а если знак меняется с «-» на «+», то локальный минимум.

Замечание 2. Важным является условие непрерывности функции  в точке . Если это условие не выполняется, то теорема 1 может не иметь места.

Пример. Рассматривается функция (рис.1):

 

Эта функция определена на  и непрерывна везде, кроме точки , где она имеет устранимый разрыв. При прохождении через точку  меняет знак с «-» на «+», но локального минимума в этой точке функция не имеет, а имеет локальный максимум по определению. Действительно, около точки  можно построить такую окрестность, что для всех аргументов из этой окрестности значения функции будут меньше, чем значение . Теорема 1 не сработала потому, что в точке  функция имела разрыв.

Замечание 3. Первое достаточное условие локального экстремума не может быть использовано, когда производная функции  меняет свой знак в каждой левой и каждой правой полуокрестности точки .

Пример. Рассматривается функция:

 

Поскольку , то , а потому , но . Таким образом:

,

 

т.е. в точке  функция  имеет локальный минимум по определению. Посмотрим, сработает ли здесь первое достаточное условие локального экстремума.

Для :

.

 

Для первого слагаемого правой части полученной формулы имеем:

 

,

 

а потому в малой окрестности точки  знак производной определяется знаком второго слагаемого, то есть:

,

 

а это означает, что в любой окрестности точки  будет принимать как положительные, так и отрицательные значения. Действительно, рассмотрим произвольную окрестность точки : . Когда

 

,

 

то                                                    

 

(рис.2), а  меняет свой знак здесь бесконечно много раз. Таким образом, нельзя использовать в приведенном примере первое достаточное условие локального экстремума.