Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Лекция 13. Необходимое и достаточные условия локального экстремума функции

План

Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Первое достаточное условие локального экстремума

Второе и третье достаточные условия локального экстремума

Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Выпуклые функции и точки перегиба

Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Определение 1. Пусть функция  определена на . Точка  называется стационарной точкой функции , если  дифференцирована в точке  и .

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума функции). Пусть функция  определена на  и имеет в точке  локальный экстремум. Тогда выполняется одно из условий:

1. функция  не имеет в точке  производной;

2. функция  имеет в точке  производную и .

Таким образом, для того, чтобы найти точки, которые являются подозрительными на экстремум, надо найти стационарные точки функции и точки, в которых производная функции не существует, но которые принадлежат области определения функции.

Пример. Пусть . Найти для нее точки, которые являются подозрительными на экстремум. Для решения поставленной задачи, в первую очередь, найдем область определения функции: . Найдем теперь производную функции:

 

.

 

Точки, в которых производная не существует: . Стационарные точки функции:

 

.

 

Поскольку и , и  принадлежат области определения функции, то они обе будут подозрительными на экстремум. Но для того, чтобы сделать вывод, будет ли там действительно экстремум, надо применять достаточные условия экстремума.

 

Вопросы

1. Какие точки называются стационарными для функции ?

2. Как определить точки, подозрительные на экстремум для функции ? Необходимое условие локального экстремума функции.

3. Всегда ли для нахождения экстремума функции можно пользоваться первым достаточным условием?

4. Второе достаточное условие локального экстремума.

5. Третье достаточное условие локального экстремума.

6. Для любой ли функции можно найти ее наименьшее и наибольшее значения?

7. Определение выпуклой вниз (вверх) функции.

8. Критерий выпуклости функции.

9. Определение точки перегиба функции. Необходимое условие точки перегиба функции.

10. Достаточное условие точки перегиба функции.

 

 

Лекция 13. Необходимое и достаточные условия локального экстремума функции

План

Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Первое достаточное условие локального экстремума

Второе и третье достаточные условия локального экстремума

Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Выпуклые функции и точки перегиба

Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Определение 1. Пусть функция  определена на . Точка  называется стационарной точкой функции , если  дифференцирована в точке  и .

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума функции). Пусть функция  определена на  и имеет в точке  локальный экстремум. Тогда выполняется одно из условий:

1. функция  не имеет в точке  производной;

2. функция  имеет в точке  производную и .

Таким образом, для того, чтобы найти точки, которые являются подозрительными на экстремум, надо найти стационарные точки функции и точки, в которых производная функции не существует, но которые принадлежат области определения функции.

Пример. Пусть . Найти для нее точки, которые являются подозрительными на экстремум. Для решения поставленной задачи, в первую очередь, найдем область определения функции: . Найдем теперь производную функции:

 

.

 

Точки, в которых производная не существует: . Стационарные точки функции:

 

.

 

Поскольку и , и  принадлежат области определения функции, то они обе будут подозрительными на экстремум. Но для того, чтобы сделать вывод, будет ли там действительно экстремум, надо применять достаточные условия экстремума.