Приведение уравнений кривых и поверхностей

второго порядка к каноническому вид у

 

Теорема 7.7. Для любой квадратичной формы на действительном евклидовом пространстве  в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид.

► Пусть на евклидовом пространстве  задана квадратичная форма k. Выберем в  какой-либо ортонормированный базис

                                          ,                                     (7.7)

и пусть А –  матрица квадратичной формы k в этом базисе. Тогда А – симметричная, а значит, существует такая ортогональная матрица Т, что матрица  –  диагональная. Так как матрица Т ортогональная, то по теореме 7.1 в  существует ортонормированный базис

                                                                                        (7.8)

такой, что Т – матрица перехода от (7.7) к (7.8). Если Ã – матрица квадратичной формы k в базисе (7.8), то  =  = =  = А'. Матрица А' – диагональная и поэтому в базисе (7.8) квадратичная форма k имеет канонический вид.◄

Замечание. Диагональными элементами матрицы А' являются собственные значения матрицы А.

Определение. Линейное невырожденное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональна.

Теорема 7.8. Любую действительную квадратичную форму можно привести к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования переменных (иная формулировка теоремы 7.7).

Следствия. 1. Для того чтобы действительная квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения ее матрицы были положительными.

2.Для любой поверхности второго порядка в трехмерном пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением.

Для любой кривой второго порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задается каноническим уравнением.

Пример. Определить вид кривой второго порядка, приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту кривую, если исходное уравнение кривой имеет вид

.

▼1. Приводим к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные значения:

, , .

Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей  при : , . Чтобы найти второй собственный вектор нет необходимости решать вторую систему. Достаточно вспомнить, что он ортогонален вектору  в силу симметричности матрицы А и что его координаты можно получить, как и в аналитической геометрии, переставив местами координаты вектора  и в одной из них поменяв знак. Итак, . Чтобы получить ортонормированный базис, векторы  и  нормируем, т.е. делим каждый на его длину: , . Канонический вид квадратичной формы выглядит так: . Матрица перехода (она же матрица линейного невырожденного преобразования переменных) имеет вид

.

2. По матрице T записываем линейное невырожденное преобразование переменных:

                                                                                   (7.9)

Подставляем выражение переменных по формулам (7.9) в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, свободный член не меняется, а чтобы узнать, как изменится линейная часть, следует непосредственно подставить формулы (7.9) в уравнение, раскрыть скобки и привести подобные.

Замечание. На самом деле коэффициенты линейной части есть линейные комбинации координат векторов  и  с теми же коэффициентами, что и в исходном уравнении. Например, коэффициент при  вычисляется так: , а при  – так: .

Таким образом, после преобразования (7.9) приходим к уравнению

,

которое равносильно следующему:

.

3. Преобразуем это уравнение:

и применим к нему преобразование параллельного переноса:

После этого уравнение кривой принимает вид

,

откуда видно, что исследуемая кривая – парабола.

4. Приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. При преобразовании параллельного переноса начало координат переходит в точку , в которой . Значит, . Можно узнать координаты точки  и в исходной системе координат. Для этого значения  и  подставим в формулы (7.9): . Итак, . Направление новых осей удобнее определять не по векторам  и , а по векторам  и , так как они имеют целочисленные координаты (рис. 7.1).

Как видите, приведение к каноническому виду даже кривой второго порядка – занятие достаточно трудоемкое. Попробуем его упростить хотя бы в некоторых случаях.

Лемма 7.2. Для того чтобы начало координат было центром симметрии кривой второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при первых степенях переменных в ее уравнении равнялись нулю.

►Обозначим  рассматриваемую кривую второго порядка. Пусть ее уравнение имеет вид:

                 .               (7.10)

Необходимость.

{ О – центр симметрии кривой Ф}

                          .                      (7.11)

Рассмотрим два случая.

а) Кривая Ф не является сдвоенной прямой. Тогда на ней можно выбрать две точки  и , не лежащие с началом координат на одной прямой. Из (7.11) получаем

                                                                              (7.12)

причем . Поэтому система (7.12) имеет единственное решение .

б) Ф – сдвоенная прямая . Очевидно, утверждение истинно.

Достаточность очевидна, так как уравнение кривой Ф имеет вид

.◄

Обозначим  левую часть уравнения (7.10). Тогда

                                                                  (7.13)

Теорема 7.9. Для того чтобы точка  была центром симметрии кривой второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли системе линейных уравнений

                                                                                     (7.14)

►Пусть  – центр симметрии кривой Ф с уравнением (7.10). Применим преобразование параллельного переноса , которое помещает начало координат в точку . При этом преобразовании уравнение (7.10) изменится так:

Последнее уравнение равносильно следующему:

        .              (7.15)

Если обозначить

     , ,         (7.16)

            ,            (7.17)

то (7.15) запишется в виде

.

Сравнивая (7.13) и (7.16), (7.10) и (7.17), замечаем, что

, .

Завершает доказательство цепочка рассуждений:

{  – центр симметрии Ф}  {  – центр симметрии Ф}

{ }  { }.◄

Вывод. Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии кривой второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле .

Точно так же доказываются аналогичные утверждения и для поверхностей второго порядка.

Пример. Определить видповерхности второго порядка

,

приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту поверхность.

▼1. Проверяем существование центра симметрии. Для этого вычисляем частные производные и составляем систему вида (7.14):

Решая эту систему, находим . С помощью параллельного переноса помещаем начало координат в центр поверхности . При этом квадратичная часть уравнения не изменится, слагаемые первой степени пропадут, свободный член .

2. Приводим к каноническому виду квадратичную часть.

; ,

; .

 

                                      Рис.7.2

 

Записываем каноническое уравнение поверхности:

или

                                                                                  

и видим, что это однополостный гиперболоид.

Находим базис, состоящий из собственных векторов, используя алгебраические дополнения:

; ; .

Заметим, что нормировать базисные векторы нет необходимости. Нормированные векторы были бы нам нужны для записи ортогонального преобразования переменных, приводящего квадратичную часть к каноническому виду. Но в данном примере это преобразование не используется. Остается поверхность нарисовать (рис. 7.2). ▲

Изометрии

Определение. Линейный оператор f евклидова пространства Е в себя называется изометрией, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если

                                                                   (7.18)

Изометрии в комплексном евклидовом пространстве называются унитарными операторами, а в действительном – ортогональными.

Теорема 7.10. Если l – собственное значение изометрии, то |l|=1.

►Пусть  – собственный вектор изометрии , l – его собственное значение. Положим . Тогда: (7.18) .◄

Замечание. Собственные значения ортогонального оператора равны 1 или –1. Ортогональный оператор в пространстве четной размерности может и не иметь собственных значений, но в пространстве нечетной размерности имеет хотя бы одно.

Теорема 7.11. Для того чтобы линейный оператор  был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы он сохранял длины векторов.

► Необходимость очевидна.

Достаточность (доказываем для комплексного случая). Пусть f сохраняет длины векторов, т. е. . Тогда  :

                            .                         (7.19)

Так как (7.19) справедливо для всех комплексных l, то при l = 1 получаем . Если же , то (7.19) принимает вид , и, таким образом, утверждение доказано.◄

Следствие. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.

Теорема 7.12. Изометрия  любой ортонормированный базис пространства  переводит в ортонормированный базис. Обратно, если линейный оператор  некоторый ортонормированный базис пространства  переводит в ортонормированный базис, то f – изометрия.

►Первое утверждение, очевидно, справедливо. Действительно, согласно определению, ортонормированный базис переходит в ортонормированную систему из n векторов, которая в силу теоремы 6.4 линейно независима и поэтому в n -мерном линейном пространстве является базисом.

Обратно. Пусть линейный оператор  некоторый ортонормированный базис

                                                                                    (7.20)

пространства  переводит в ортонормированный базис

                                        ,                              (7.21)

и пусть  и  – произвольные векторы пространства . Тогда каждый из векторов  и  можно разложить по базису (7.20):  Так как базисы (7.20) и (7.21) ортонормированны, то . Значит,

и, таким образом, f – изометрия.◄

Теорема 7.13. Для того чтобы линейный оператор  был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы .

►На основании теоремы 7.2 любой линейный оператор  имеет сопряженный. Тогда:

{ f – изометрия}

                                      [лемма 7.1]  { }.                 (7.22)

Если А – матрица оператора  в некотором ортонормированном базисе пространства , то  – матрица оператора  в том же базисе, и из (7.22) для изометрии получаем

                                           .                                           (7.23)

Из (7.23) вытекает, во-первых, что матрица изометрии невырождена, значит, любая изометрия  – невырожденный линейный оператор, причем . Во-вторых, для того чтобы линейный оператор f комплексного евклидова пространства  в себя был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства  была унитарной. Для того чтобы линейный оператор f действительного евклидова пространства  в себя был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства  была ортогональной.◄