Самосопряженные линейные операторы

Определение. Линейный оператор  называется самосопряженным, если он сопряжен самому себе (), т. е., если

                               : .                              (7.4)

В комплексных евклидовых пространствах самосопряженные линейные операторы называются эрмитовыми, а в действительных – симметричными.

Теорема 7.3. Для того чтобы линейный оператор  комплексного евклидова пространства  в себя был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства  была эрмитовой.

Для того чтобы линейный оператор  действительного евклидова пространства  в себя был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства  была симметричной.

►Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 7.2. Пусть  – матрица линейного оператора  в некотором ортонормированном базисе. Если  – комплексное евклидово пространство, то

;

если же  – действительное, то только снимается комплексное сопряжение.◄

Теорема 7.4. Все собственные значения эрмитова оператора действительны.

►Пусть  – собственный вектор эрмитова оператора , l – соответствующее этому собственному вектору собственное значение. Полагая в (7.4)  и учитывая, что  – ненулевой вектор, получаем

. ◄

Следствия. 1. Все характеристические числа эрмитовой матрицы действительны.

2. Все характеристические числа симметричной матрицы действительны.

3. Любой симметричный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение.

Теорема 7.5. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора с различными собственными значениями взаимно ортогональны.

►Пусть  – собственные векторы самосопряженного линейного оператора  с собственными значениями l₁ и l₂ соответственно, причем l₁ ¹ l₂. Тогда

{(7.4)} .◄

Теорема 7.6. Для любого самосопряжённого оператора  в пространстве  существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора .

►Доказательство проведем методом математической индукции по размерности пространства.

а) n = 1. Так как  действует в одномерном пространстве , то для любого вектора  пространства его образ  также принадлежит , т. е.  коллинеарен вектору , , а значит, любой ненулевой вектор  – собственный вектор оператора . Если , то вектор  и образует в одномерном пространстве  ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора .

б) Предположим, что утверждение верно для евклидова пространства размерности n –1, и докажем его для n -мерного пространства.

Пусть  – самосопряжённый линейный оператор. Тогда он обязательно имеет по крайней мере одно собственное значение l₁. Обозначим  единичный собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, и пусть  – его линейная оболочка. Так как  и так как , то . Кроме того, ,  получаем  а значит, . Определим оператор  следующим образом:  положим . Нетрудно проверить, что  – самосопряжённый линейный оператор. Так как пространство  – (n –1)-мерное, то по предположению индукции в  существует ортонормированный базис , состоящий из собственных векторов оператора . Очевидно, каждый из этих векторов является собственным и для оператора , так как при , где  – соответствующее собственное значение оператора . Теперь рассмотрим систему векторов . Она удовлетворяет всем условиям теоремы: состоит из собственных векторов оператора , ортонормированная и поэтому линейно независима, а значит, в n- мерном линейном пространстве является базисом.◄

Следствие. Любая эрмитова матрица унитарно подобна некоторой действительной диагональной матрице, т. е.  такая, что матрица  – диагональная и действительная.

Любая симметричная матрица ортогонально подобна некоторой диагональной матрице, т. е.  такая, что матрица  – диагональная.

►Доказательство для эрмитовой матрицы. Пусть ,  – комплексное n -мерное евклидово пространство,

                                         –                                 (7.5)

некоторый ортонормированный базис пространства . Обозначим  тот линейный оператор, матрица которого в базисе (7.5) совпадает с А. Тогда по теореме 7.3 f – эрмитов оператор, а значит, в  существует ортонормированный базис

                                          ,                                   (7.6)

состоящий из собственных векторов оператора f. Матрица  оператора f в этом базисе диагональная и действительная. Так как Т – матрица перехода от (7.5) к (7.6), то, по теореме 7.1 Т – унитарная.◄