Изоморфизм линейных пространств

 

Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства  и  называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .

Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.

Свойства изоморфизма

 

1.  – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).

2.  – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).

3. { , }  – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).

Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.

Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.

►Пусть  и пусть  – изоморфизм. Выберем в  какой-либо базис

                                                                                   (4.27)

и покажем, что система

                                        –                           (4.28)

базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f,  единственный  такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .

Докажем теперь линейную независимость (4.28).

 [линейность f ]

 [взаимная однозначность f ]  [линейная независимость (4.27)]  {(4.28) – линейно независима}.

Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄

Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.

►а) Докажем, что .

Выберем в  какой-либо базис . Тогда  : . Обозначим . Очевидно, отображение  – взаимно однозначное. Кроме того, ,  :

 :

Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .

б) Пусть теперь  и  – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда

{  и }  [симметричность]  {  и  и }  [транзитивность]  { }.◄

Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .

Образ и ядро линейного оператора

Определения. Образом линейного оператора  называется подмножество  линейного пространства :

.

Ядром линейного оператора  называется подмножество  линейного пространства :

.

Теорема 4.10. Образ линейного оператора  является подпространством пространства , а его ядро – подпространством пространства .

Упражнение. Докажите теорему 4.10.

Размерность подпространства  называется рангом оператора  и обозначается , а размерность подпространства  называется дефектом  и обозначается .

Теорема 4.11. Если  – линейный оператор, то

                                    .                               (4.29)

► Обозначим . Так как  – подпространство пространства , то . Рассмотрим сначала случай, когда . Выберем в  какой-либо базис

                                    .                                     (4.30)