Простейшие свойства линейного оператора

 

1º. Линейный оператор  переводит нейтральный элемент пространства  в нейтральный элемент пространства .

►Пусть  – линейный оператор. Тогда .◄

2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства  переходят в линейно зависимые векторы пространства .

►Пусть  – линейно зависимые векторы. Это значит, что существуют числа , не все равные нулю, такие, что

                             .                              (4.7)

Подействуем линейным оператором  на обе части равенства (4.7). Тогда

 

(4.7) [(4.3) и 1º]

                        .                           

 

Так как среди чисел  есть отличные от нуля, то система { } линейно зависима.◄

Упражнение. Верно ли утверждение: при линейном операторе линейно независимые векторы переходят в линейно независимые?

 

Матрица линейного оператора

 

Определение матрицы линейного оператора

 

Пусть в линейном пространстве  над полем  задан базис

                                                                                      (4.8)

и пусть – линейный оператор (читается так:  в себя). Построим систему векторов

                                   ().                                    (4.9)

Каждый из векторов системы (4.9) можно разложить по базису (4.8):

                           

                                                      (4.10)

 

Сокращенно система (4.10) записывается одним равенством:

                                             .                                     (4.11)

Расположим числа  в матрицу А по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:

Заметим, что столбцы полученной матрицы А являются координатными столбцами образов векторов базиса (4.8) в том же базисе. Обозначим

[ ] = .

Равенство (4.11) можно переписать и так: , откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4.11) записываем в матричном виде:

                                    .                                         (4.12)

Матрицей линейного оператора  в некотором базисе называется матрица А, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица , элементы которой удовлетворяют системе равенств (4.10) или (4.11), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (4.12).

Примеры

 

1. Матрицей нулевого оператора  в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора  также в любом базисе является матрица единичная.

2. Пусть . Составим матрицу оператора проектирования на ось O x в базисе . Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:

.

3. Составим матрицу оператора  поворота плоскости на угол  (см. § 2) в базисе . Из рис. 4.5 и 4.6 видно, что

Тогда

.

 

         Рис. 4.5                                                            Рис. 4.6

 

Итак, если в пространстве  задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору  можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, т. е. квадратную матрицу A n- го порядка, причем эта матрица определяется однозначно.

Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P. Обозначим  вектор, координатный столбец которого в базисе (4.8) совпадает с i -м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов

                                       ()                                           

Согласно теореме 4.1, существует единственный линейный оператор  такой, что . По определению матрица этого оператора в базисе (4.8) совпадает с А.

Обозначим  – множество всех линейных операторов линейного пространства  над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в  задан базис, то определяется отображение

,

которое ставит в соответствие каждому линейному оператору  его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.