Уравнения установившегося течения газа

В трубопроводе

 

Для описания установившегося стационарного течения газа в трубопроводе используются основные законы механики: уравнение сохранения массы газа (уравнение неразрывности потока), уравнение изменения количества движения (уравнение движения) и уравнение изменения полной энергии газа (уравнение энергии).

 

Уравнение неразрывности потока газа в трубе

 

Уравнение неразрывности потока газа, выражающее закон сохранения массы газа, движущегося в трубе, имеет вид:

 

      (13.6)

Поскольку течение считается установившимся, то , поэтому уравнение упрощается:

 

.

 

Отсюда следует, что массовый расход газа  остается постоянным для всех сечений газопровода:

 

(13.7)

 

Поскольку плотность  газа уменьшается по мере продвижения газа вследствие уменьшения давления, то из (13.6) следует, в частности, что в газопроводе с постоянным диаметром () скорость газа увеличивается от начала участка газопровода к его концу.

 

Уравнение движения

 

Уравнение движения газа, выражающее закон изменения количества движения под действием внешних сил (второй закон Ньютона) записывается в следующем виде:

 

.

 

Поскольку течение газа установившееся, то это уравнение упрощается:

 

. (13.8)

 

Для величины касательного напряжения  сил трения газа о внутреннюю поверхность трубопровода обычно используют формулу:

 

,   (13.9)

 

где   коэффициент трения или  коэффициент гидравлического сопротивления ().

В общем случае коэффициент гидравлического сопротивления при течении газа по трубопроводу зависит как от числа Рейнольдса , так и от эквивалентной шероховатости  внутренней поверхности трубопровода. Однако для магистральных газопроводов числа Рейнольдса составляют миллионы, в силу чего коэффициент  зависит только от состояния внутренней поверхности трубопровода. Для расчета  в магистральных газопроводах рекомендуется формула ВНИИГаза:

 

.    (13.10)

 

В рамках принятых допущений уравнение установившегосятечения газа в трубопроводе приобретает вид:

 

.   (13.11)

 

Отметим, что  где  зависимость геометрической высоты сечения газопровода над уровнем моря от координаты , отсчитываемой вдоль оси трубопровода.

Упрощающее допущение. Поскольку скорость  газа увеличивается, то ускорение  частиц газа отлично от нуля, однако в длинных газопроводах это ускорение чрезвычайно мало и потому им можно пренебречь. Справедлива следующая оценка:

 

.

 

Эта оценка справедлива, если скорость  газа в трубопроводе (составляющая, как правило,  м/ c) много меньше скорости  звука (равная примерно 380-440 м/ c), т.е. . Например, для газа с плотностью   кг/м ³, движущегося в газопроводе со скоростью , изменение слагаемого  при изменении скорости на 5 м/ c составляет:   Па, в то время как изменение слагаемого  в правой части уравнения в 18 раз больше: . Вот почему, в уравнении движения, как правило, пренебрегают инерцией, т.е. не учитывают ускорение газа.

С учетом данной оценки уравнение движения газа в газопроводе выражает обычно равенство движущей силы давления и препятствующих ему силы трения и силы тяжести:

 

. (13.12)

 

Поскольку природный газ – это относительно легкая среда, то во многих случаях пренебрегают также силой тяжести , поэтому уравнение (13.12) движения газа еще более упрощается:

 

.    (13.13)