Математическая формулировка задачи оптимального управления

Характерной тенденцией в построении современных систем автоматического управления является стремление получать системы, которые в некотором смысле являются наилучшими. При управлении технологическими процессами это стремление выражается в том, чтобы улучать максимальное количество продукции высокого качества при ограниченном использовании ресурсов (сырья, энергии и т.п.). В системах управления кораблями, самолетами, ракетами стремятся минимизировать время, по истечении которого объект выходит в заданную точку или на заданную траекторию при ограничении угла отклонения рулей, количества расходуемого топлива и т. п. В следящих и стабилизирующих системах представляет интерес достижение максимальной точности при наличии всевозможных ограничений, накладываемых на координаты регулируемого объекта, исполнительные элементы и регулятор. Во всех этих примерах задачи управления сводятся к нахождению наилучшего в определенном смысле слова процесса из множества возможных процессов, т.е. относятся к классу динамических задач управления.

Как было показано ранее, математическая формулировка динамических задач оптимального управления сводится к следующему. Имеется объект управления, состояние которого характеризуется многомерной переменной х={х1,…,xn}. Характер процессов в объекте управления можно изменять, используя то или иное упвление u из пространства допустимых правлений U. В общем случае управление u U может быть также многомерной величиной u={u1,...,um}. Характер движения объекта управления описывается системой дифференциальных уравнений х=g (х, u), х (0)=с.

За критерий качества управления принимается интегральная оценка вида

J(u)= ,имеющая физический смысл потерь, где Т- время протекания процесса управления, a Q[x(t), u(t)]=q(t) - мгновенные потери в момент t при состоянии системы x(t) и управлении u(t). Добавочными ограничениями могут быть ограничения, накладываемые на количество ресурсов или пределы изменения некоторых параметров, выражающиеся математически соотношением

.

Как было установлено ранее, оптимальным называется такое управление u* из множества допустимых управлений U, при котором для объекта, описываемого дифференциальным уравнением, и заданных огра­ничениях на используемые ресурсы критерий качества управления принимает минимальное (максимальное) значение.

Сформулированная подобным образом задача оптимального управления относится к классу вариационных задач, решением которых занимается раздел математики, получивший название вариационного исчисления. Величина J(u) получила название функционала. В отличие от функции, например, f(x), численные значения которой задаются на множестве значений аргумента х, численные значения функционала J(u) задаются на множестве всевозможных управлений u(t). Задача нахождения оптимального управления сводится к тому, чтобы из множества допустимых управлений U выбрать такое, при котором функционал J(t) принимает минимальное численное значение.