Поведение динамической системы как функция начального состояния

Нахождение оптимального управления в динамических системах во многих случаях существенно облегчается, если процесс управления удается разбить естественным или искусственным путем на отдельные шаги или этапы. Для того чтобы вести рассмотрение в общем виде, будем считать, что состояние объекта описывается многомерной переменной х={x1,...,хn).

Предполагая, что процесс является неуправляемым и неопределенность в состоянии природы отсутствует, дифференциальное уравнение, определяющее движение объекта, запишем в виде: x(t)=g(x), x(0)=c.

Решение этого уравнения записывают обычно как х=х(t), чем подчеркивается зависимость решения от времени. Однако не менее важно то, что решение уравнения зависит от начального состояния с. Поэто­му более строгой является такая форма записи, которая показывает явную зависимость решения х как от времени, так и начального состояния: х=х(c, t)=х[x(0), t].

Такая форма записи позволяет рассматривать состояние системы в произвольный момент времени t как не­которое преобразование начального состояния х(0)=с на интервале t.

Рассмотрим движение объекта на интервале от 0 до t2, который промежуточной точкой t1 разобьем на два ин­тервала длительностью t1 и τ=t2-t1.

Рассмотрим три состояния объекта управления:

начальное состояние х(о) =с;

состояние х(с, t1) в промежуточный момент t1;

состояние х(с, t2) в конечный момент t2;

К описанию последнего состояния можно подойти двояким образом. Это состояние можно рассматривать или как преобразование начального состояния х(о)=с на интервале t2=t1+ τ: х(с, t2)= х(с, t1 + τ) или как преобразование состояния х(с, t1) на интервале τ: х(с, t2)= х[x(с, t1), τ].

Так как оба выражения описывают одно и то же со­стояние, то, приравнивая их, получаем соотношение: х(с, t1 + τ)=х[x(с, t1), τ].

1.2.2. Представление динамического процесса в виде последовательности преобразований

Предположим, что динамический процесс х(с, t) на интервале от 0 до tf может быть естественным или искусственным образом представлен как многошаговый, и найдем подходящий способ описания такого процесса. Для того чтобы получить многошаговый процесс, интервал от 0 до tf следует разбить на n последовательных шагов, длительности которых примем равными τ1,τ2,..., τn. Обозначим через tk(k=0,...,n) моменты окончания k-го шага так, что tk+1= tk+τk+1, а через xk - состояние объекта в момент tk: xk=x(c,tk).

Рассмотрим состояние xk+1=x(c,tk+1)=x(c,tk+τk+1). Это выражение в можно представить в виде: xk+1=x[x(c,tk),τk+1]=x(xk,τk+1).

Это соотношение представляет состояние объекта xk+1 как результат преобразования состояния xk на (k+1)-м шаге.

Введем в рассмотрение оператор Т, который будет означать преобразование состояния процесса за один шаг:

Т (xk) = x(xk, τk+1), k = 0,n-1. Тогда получим: xk+1=Т (xk).

Полагая k=0,n-1, можем описать весь динамический процесс в виде последовательности преобразований

x0=c, x1=Т (x0), …, xn=Т (xn-1).

1.2.3. Многошаговый процесс управления

Динамический процесс, описываемый преобразованием xk+1=Т(xk), является неуправляемым. Для получения управляемого многошагового процесса необходимо иметь возможность на каждом шаге осуществлять не одно преобразование Т(хk), а одно из множества преобразований Тi(хk).

Удобно считать, что конкретный вид преобразования будет зависеть от параметра uk, который на k-м шаге может принимать одно из множества значений Uk. Параметр uk будем называть управлением, а множество Uk - пространством допустимых управлений на k-м шаге. Преобразование, осуществляемое на k-м шаге, теперь можно записать в виде

xk+1=Т(xk, uk), uk Uk.

Если в этом соотношении положить последовательно tk=0,n-1 и учесть начальное состояние х0, то получим описание всего управляемого многошагового процесса:

xk+1=Т(xk, uk), uk Uk, tk=0,n-1, х0=x(0)=c.

Данное соотношение, называемое разностным уравнением объекта управления, аналогично дифференциальному уравнению, дающему описание непрерывного динамического процесса.