Ориентация тройки векторов в пространстве

Упорядоченная тройка ненулевых не коллинеарных векторов  называется правой, если при вращении вектора  к вектору  по кратчайшему углу это вращение выглядит с к конца вектора вращением против часовой стрелки (рис. 13). В противном случае тройка векторов называется левой (рис. 14).

Если в упорядоченной тройке векторов переставить два любых вектора, либо заменить один из векторов на противоположный, то ориентация изменится на противоположную.

 

 

Рис. 13.

 

 

 

Рис. 14.

 

Рис. 14.

 

Определение векторного произведения

Векторным произведением двух векторов  и  называется вектор , определяемый следующими условиями:

1) ;

2) если ненулевые векторы  и  коллинеарны, то ;

3) если ненулевые векторы  и  не коллинеарны, то вектор  задаётся тремя условиями:

а) вектор  перпендикулярен плоскости векторов  и ;

б) вектор направлен так, что тройка  является правой;

в) если  — угол между векторами  и , то  (рис 15).

Геометрический смысл векторного произведения

Поскольку  — высота параллелограмма, построенного на ненулевых векторах  и  (рис. 15), то  — площадь этого параллелограмма.

Итак, модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

 

 

 

Рис. 15.

Свойства векторного произведения

Перечислим без доказательства свойства векторного произведения.

1. Антисимметричность: .

2. Ассоциативность: .

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения: .

4. Дистрибутивность:  (для векторных операций действует такой же порядок выполнения действий при отсутствии скобок, что и для числовых операций сложения и умножения).

5. Векторное произведение базисных ортов задаётся следующей таблицей (в левом столбце первый множитель, в верхней строке второй множитель, на пересечениях результат):

 

 

Векторное произведение в ортонормированном базисе

Пусть в ортонормированном базисе  заданы координаты векторов: . Тогда получаем, раскрывая скобки,

(применяя таблицу для произведений ортов)

(группируя слагаемые с одинаковым ортом)

(множители при ортах можно записать в виде определителей 2-го порядка)

.

Итак,

.                              (5)

Правая часть равенства (5) напоминает разложение определителя по первой строке, с той разницей, что в «обычном» определителе все элементы являются числами, а полученное выражение содержит как числа, так векторы.

С некоторой долей условности — для облегчения запоминания формулы (5) — выражение для векторного произведения можно записать в виде «символического» определителя:

 

.                                                  (6)

Пример. Пусть

.

Тогда

 

Смешанное произведение

Как и векторное произведение, смешанное произведение векторов вводится только для векторов пространства.

Смешанным произведением трёх векторов ,  и , взятых в указанном порядке, называется число , равно скалярному произведению вектора  на вектор :

.