Матрицы, определители, системы линейных уравнений,

М. Ю. Ястребов

Электронное учебное пособие по дисциплине
Высшая математика

Семестр

Материал для подготовки к коллоквиуму

Матрицы, определители, системы линейных уравнений,

Векторная алгебра

Направление 38.03.04

«Государственное и муниципальное управление»

Санкт-Петербург 2020

ВВЕДЕНИЕ

Электронное учебное пособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для обучающихся по направлению 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», может быть использовано при изучении других дисциплин, направленных на формирование профессиональных компетенций. Изложенный материал соответствует той части семестрового материала, которая входит в программу коллоквиума1-го семестра.

Электронное учебное пособие направлено на формирование общепрофессиональных компетенций в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом (ФГОС ВО 3++) по уровню бакалавриата академического:

– ОПК-2 Способен применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач.

В электронном учебном пособии содержится систематическое изложение основ теории матриц и определителей, векторной алгебры.

Цель электронного учебного пособия – сформировать у обучающихся системные знания в области указанного раздела математики, которые позволят в будущем осуществлять профессиональную деятельность.

Содержание данного электронного учебного пособия соответствует рабочей программе дисциплины и основано на материалах отечественной и зарубежной научной и учебной литературы, включая современные публикации.

 

 

АННОТАЦИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

приложение 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова»

 

Кафедраматематики

АННОТАЦИЯ

Дисциплина математика

 

Направление подготовки 38.03.04 Государственное и муниципальное управление

 

Профиль               Социально-экономическое развитие прибрежных территорий

 

Уровень высшего образования                    бакалавриат (академический)

 

Промежуточная аттестация                                зачет, экзамен

 

 

1. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Дисциплина «Математика»  относится к базовой части Блока 1 и изучается на 1 курсе в I-II семестрах по очной форме обучения.

Дисциплина «Математика» является одной из основных фундаментальных учебных дисциплин; она обеспечивает подготовку бакалавров к успешному освоению дисциплин гуманитарно-социально-экономического, естественнонаучно-математического и профессионального циклов.

Основная задача курса «Математика»: привить навыки решения типовых задач, научить студентов прилагать полученные теоретические знания к решению сугубо практических задач.

Входные знания студента:

· курс средней общеобразовательной школы «Алгебра и начала анализа»,

· курс средней общеобразовательной школы «Геометрия».

 

Данная дисциплина тесно связана со следующими дисциплинами:

- Теория вероятностей и математическая статистика;

- Статистика;

- Информационные технологии в управлении;

- Экономическая теория;

- Теория управления;

- Математическая экономика;

- Основы математического моделирования социально-экономических процессов.

 

2. Планируемые результаты обучения по дисциплине

 

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:основные понятия, определения и инструменты высшей математики и их применение в развитии современного общества. Знать основылинейной алгебры, аналитической геометрии, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики

 

Уметь: логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями, самостоятельно решать классические задачи высшей математики Уметь выполнять действия с матрицами, вычислять определители. Решать системы алгебраических уравнений. Решать дифференциальные уравнения и задачи теории вероятностей и математической статистики различными методами.

 

Владеть: математическим аппаратом теории матриц и определителей, дифференциального и интегрального исчисления. Владеть математическим аппаратом дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики для решения практических задач.

3. Объем дисциплины по видам учебных занятий

Объем дисциплины составляет 5 зачетных единиц, всего 180 часов, из которых по очной/заочной формам обучения 108/20 часов составляет контактная работа обучающегося с преподавателем.

4. Основное содержание дисциплины

Понятие матрицы, определителя, свойства определителя. Теоремы разложения и аннулирования, теорема Крамера. Действия с матрицами.

Числовая последовательность, ее предел. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства. Предел функции. Непрерывность функции. Основные пределы анализа. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Классификация точек разрыва функции.

Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Теорема Лопиталя. Свойства функции: монотонность, экстремумы, выпуклость вверх и выпуклость вниз, точки перегиба, асимптоты.

Проекция вектора на ось, ее свойства. Понятие базиса совокупности векторов. Скалярное и векторное произведения.

Прямая на плоскости. Кривые 2-го порядка. Плоскость. Прямая в пространстве.

Первообразная, неопределенный интеграл, свойства. Интегрирование по частям, замена переменной. Определенный интеграл, его геометрический смысл, свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Понятие n -мерного пространства.

Функция двух переменных. Полное и частные приращения. Частные производные. Экстремум функции 2-х переменных.

Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Действия с комплексными числами. Функция комплексной переменной.

Понятие дифференциального уравнения, его порядок, общее и частное решения. Дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.

Перестановки, сочетания, размещения. Виды случайных событий, действия с ними. Аксиомы теории вероятностей. Теорема сложения. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула Бернулли

Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые характеристики. Основные законы распределения случайных величин.

Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

 

Составитель:                             Ильичева Т.П.

Зав. кафедрой:                       Сухотерин М.В.

 

 

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 

1.1. Понятие матрицы

Прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов называется матрицей размера .

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Элементы матрицы нумеруются двумя индексами: первый указывает номер строки, содержащей этот элемент, а второй — номер столбца.

Матрицы размера  называются строками: ;

Матрицы размера  называются столбцами: .

Матрица размера , состоящая из нулей, называется нулевой.

Матрицы  и  равны, если они имеют одинаковый размер и попарно равны их соответствующие элементы:

 

1.2. Матричные операции

Операция транспонирования переводит матрицу А размера   в матрицу  размера  и состоит в замене строк таблицы на ее столбцы с сохранением порядка. Таким образом, в матрице  элемент  равен элементу  матрицы .

Верно равенство .

Операция сложения применима только к матрицам одинакового размера. Суммой двух матриц  и  размера  называется матрица  того же размера, элементы которой представлены суммой элементов матриц  и , имеющих те же индексы:

Обозначение: .

Операция вычитания определяется аналогично:

.

Операция умножения матрицы на число.Произведением матрицы  на число a называется матрица  того же размера, что и , получающаяся умножением каждого элемента матрицы  на число a: . Обозначение: .

Введённые операции удовлетворяют следующим равенствам для любых матриц  и  одинакового размера  и любых чисел a, b:

 — коммутативность сложения;

 — ассоциативность сложения;

если 0 — нулевая матрица размера m ´ n, то A + 0 = A;

для матрицы  существует матрица  того же размера такая, что A + = 0; при этом ;

0 — нулевая матрица того же размера, что и ;

10) (А + В) ^Т = А^Т + В^Т;

11) .

 

1.3. Умножение матриц

Произведение матриц вводится только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матриц  размера  и  размера  называется матрица  размера , элемент которой  вычисляется по формуле («строка на столбец»)

Отметим, что  есть сумма попарных произведений элементов i -й строки матрицы  на элементы j-го столбца матрицы .

Обозначение: .

Операция умножения матриц не является в общем случае коммутативной (перестановочной), т.е.  (хотя для некоторых матриц такое равенство имеет место). Более того, произведение АВ может существовать (в силу правила размерностей для множителей), в то время как произведение ВА оказывается не имеющим смысла.

Операция умножения добавляет к указанным в п. 1.2 равенствам следующие соотношения:

,

Данные равенства надо понимать так: если определено выражение справа, то определено и выражение слева (и наоборот) и имеет место указанное равенство.

Замечание. Произведением матрицы  размера  и столбца  размера  оказывается столбец  размера

 

1.4. Квадратные матрицы

Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Число строк квадратной матрицы называется порядком матрицы. Матрицы одного порядка можно складывать и вычитать, умножать на число и перемножать между собой. Элементы, стоящие в строках и столбцах с одинаковыми номерами, образуют главную диагональ. Матрица  с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах

называется единичной.

Для произвольной квадратной матрицы  одного порядка с единичной матрицей  верно равенство

АЕ = ЕА = А.

 

1.5. Определители

С каждой квадратной матрицей А можно связать число, называемое определителем (или детерминантом)матрицы, который обозначается  или , или .

Для матрицы первого порядка её определителем считается единственный элемент матрицы: .

Для матрицы  второго порядка определитель задаётся формулой

.

Для матрицы третьего порядка определитель задаётся формулой

Пусть A — квадратная матрица порядка n  и — элемент, стоящий в строке с номером  и столбце с номером . Минором   элемента  называется определитель матрицы, которая получается из  вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент .

Пример. Пусть .

Тогда минор  элемента — это число .

Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Если  является чётным числом, то

;

если же  является нечётным числом, то

.

Если в матрице   каждый элемент заменить на его алгебраическое дополнение, то получится матрица, которая называется союзной к матрице  и обозначается А ^*.

Теорема (о разложении определителя). Определитель матрицы равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения:

.

Это — разложение определителя по элементам -й строки.

Разложение определителя по элементам -го столбца имеет вид:

Теорема (аннулирования). Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов (стоящих в том же столбце) другой строки равна нулю.

a_{i 1} A_{j 1} + … + a_inA_jn = 0 при i ¹ j.

Теорема (об определителе транспонированной матрицы). При транспонировании определитель матрицы не меняется:

.

 

Свойства определителей

Последняя из приведённых теорем позволяет любое свойство определителей, сформулированное в терминах строк матрицы, переформулировать в терминах её столбцов.

1. Если в матрице есть строка, состоящая из нулей, то определитель такой матрицы равен нулю.

2. Если в матрице поменять местами две строки, то определитель такой матрицы будет равен произведению определителя исходной матрицы на -1.

3. Если в матрице есть две одинаковые строки, то её определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой-нибудь строки матрицы умножить на одно и тоже число, то определитель новой матрицы будет равен произведению определителя исходной матрицы на это число.

5. Если элементы какой-нибудь строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен сумме определителей двух матриц, совпадающих с исходной, кроме упомянутой строки, а в этой строке в первой матрице стоят первые слагаемые, а во второй матрице — вторые слагаемые:

.

6. Если в матрице к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

7. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

 

1.6. Обратная матрица

Если  — квадратная матрица порядка , то матрица  того же порядка называется обратной к матрице , если выполнено равенство

,

где Е — единичная матрица.

Обозначение: . Таким образом,

Е сли матрица В является обратной к матрице А, то матрица А является обратной к матрице В:

.

Пусть матрица А имеет обратную А ^-1, так что . По свойству определителей , так что  и .

Теорема (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы матрица  имела обратную  необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля; при этом , где А ^* — союзная матрица.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

- каждый элемент матрицы  заменяется на его алгебраическое дополнение;

- полученная матрица транспонируется;

- полученная матрица умножается на число .

Другой способ нахождения обратной матрицы приведён в п. 1.10.

 

1.7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений:

                                                  (1)

Обозначим:

 — матрица коэффициентов;

 — столбец неизвестных;

— столбец свободных членов.

Тогда, используя определения матричных операций, можно систему (1) переписать как равенство одностолбцовых матриц:

.                                                          (2)

Равенство (2) называется матричной записью системы линейных уравнений.

Если здесь , то существует обратная матрица . Имеем тогда:

 

Тем самым найдено решение системы Х = A ^-1 В в матричном виде: .

 

1.8. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Рассмотрим снова систему  линейных уравнений с  неизвестными:

Введём обозначения:

 — определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных,

 — определитель при неизвестном ,

 — определитель при неизвестном ,

и так далее;

 — определитель при неизвестном .

Здесь определитель  при неизвестном  получается из определителя системы  заменой -го столбца столбцом свободных членов.

       Теорема Крамера. Если определитель  системы линейных уравнений не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое задаётся формулами Крамера:

, ,..., .

Пример.

;

; ; ;

; .

 

1.9. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гауссарешения произвольнойсистемылинейных уравненийосновывается на идее последовательного исключения неизвестных.

Пусть дана система из m уравнений с n неизвестными

Выберем среди всех коэффициентов  коэффициент, отличный от нуля. Переставив, в случае необходимости, строки и изменив соответствующим образом нумерацию уравнений и неизвестных (а значит, строк и столбцов матрицы), можно добиться, чтобы это был .

Выразив  из первого уравнения системы, получим:

.

Подставив затем полученное выражение для  в оставшиеся уравнения, получим систему, у которой как число уравнений, так и число неизвестных уменьшилось на единицу.

 

Переобозначим: ; , в результате получаем систему

 

 

Если , то вычёркиваем этот столбец коэффициентов при  из системы, а переменную  считаем произвольной. В противном случае повторим с новой системой то же, что и с исходной.

Так мы переходим от системы к системе, вычеркивая нулевые столбцы, пока не останется одно уравнение. Если на каком-то этапе у нас получится равенство 0 = b_k, где b_k ¹0, то система не имеет решений. В противном случае оставшееся последним уравнение будет иметь вид:

,

где .

Затем находим

,

где  выбираются произвольно. Далее обратным ходом последовательно находятся

 

1.10. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Элементарными преобразованиями матрицы произвольного размера называются следующие действия со строками:

- перестановка строк;

- прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число;

- деление всех элементов строки на число, отличное от нуля.

Пусть  — квадратная матрица порядка . Будем искать обратную матрицу следующим способом: запишем подряд две матрицы

,

где  — единичная матрица порядка . Используя элементарные преобразования над строками приведём матрицу  к единичной . Тогда у нас получится матрица .

Можно доказать, что .

Пример. Пусть . Вычислим обратную матрицу .

 

 

Поясним сделанные преобразования. На первом шаге ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2), а к третьей — первую (умноженную на единицу).

На втором шаге к третьей строке прибавили вторую, умноженную на 2.

На третьем шаге вторую строку разделили на (-1), а третью на (-3).

На четвертом шаге к первой строке прибавили третью, умноженную на (-1), а ко второй — третью, умноженную на (-3).

 Наконец, на заключительном, пятом шаге к первой строке прибавили вторую, умноженную на (-1). В результате получили

Замечание. Если в результате указанных элементарных преобразований в некоторой строке все элементы левее вертикальной черты окажутся равными нулю, то это означает, что  и, следовательно, обратная матрица  не существует.

 

1.11. Собственные числа и собственные векторы

Пусть  — квадратная матрица размера n ´ n,  — единичная матрица того же порядка.

Число  называется собственным числом матрицы A, если найдётся такой ненулевой столбец , что . В этом случае столбец  называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному числу .

 — собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу ; тогда для любого вещественного числа  столбец также является собственным вектором матрицы , соответствующим этому же собственному числу. Действительно, по свойствам матричных операций

.

Если  — собственные векторы матрицы , соответствующие собственному числу , то столбец также является собственным вектором матрицы , соответствующим этому же собственному числу. Действительно, по свойствам матричных операций

.

Рассмотрим систему уравнений, равносильную матричному равенству :

 

 

или, перенося свободные члены влево,

 

                               (3)

 

Система (3) заведомо имеет, по меньшей мере, одно — нулевое — решение: . Для того чтобы она имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен 0.

Таким образом, получаем уравнение для нахождения собственных чисел

,                                         (4)

или в матричных обозначениях

.

Уравнение (1.2) называется характеристическим уравнением матрицы . Для нахождения собственных векторов надо значения l, найденные при решении характеристического уравнения (4), подставить в систему (3) и решить её методом Гаусса.

 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

2.1. Основные понятия

Величины, которые полностью характеризуются одним числом, называются скалярными величинами, или просто скалярами. Примерами скалярных величин могут служить масса судна с грузом, водоизмещение судна, температура воздуха, угол между направлением движения судна и направлением на север.

Наряду со скалярами рассматривают величины, для полной характеристики которых одного числа недостаточно, требуется указать ещё их направление. Примерами таких величин служат скорость судна, сила удара при швартовке и т.д. Такие величины называются векторными.

 

Рис. 1

 

Вектором называется направленный отрезок. Направление задаётся указанием, какая из двух граничных точек отрезка считается начальной, а какая, соответственно, конечной.

Если точка  является начальной, а  конечной, то вектор направлен от  к  (рис. 1). Обозначения вектора; , .

Модулем вектора  называется длина отрезка . Обозначения: , .

Нулевой вектор   —это вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен нулю, а направление не определено.

Два вектора в пространстве или плоскости называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковое направление и их модули равны.

Вектор  называется противоположным вектору  и обозначается .

Единичным вектором (или ортом), называется вектор, модуль которого равен единице. Единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом этого направления.

 

2.2. Линейные операции с векторами

Сумма   векторов  и  определяется по правилу треугольника или параллелограмма (рис. 9.2 и 9.3).

Сумма двух неколлинеарных векторов может быть также найдена по правилу параллелограмма (рис. 9.3).

Для сложения векторов справедливы следующие свойства:

1)  — коммутативность сложения;

2)  — ассоциативность сложения;

3) ;

4) .

 

 

Рис. 2.

 

 

Рис.3.

 

Разностью  векторов  и  называется вектор ,  для которого . При этом  (рис. 4).