Длина кривой в полярной системе координат.

Пусть кривая задана формулой .

Тогда: .

Доказательство этой формулы.

Рассмотрим формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми координатами:

Но в данном случае   это функция . Тогда

 , .

Здесь параметр  применяется таким же образом, как в прошлой формуле был параметр .

Найдём производные:

Их надо подставить в формулу: .

 

применим формулу сокращённого умножения в каждом квадрате под корнем. Там получатся квадраты и удвоенные произведения, которые, впрочем, сократятся, ведь они будут разного знака. Выражение под корнем преобразуется так:

 =

 +

 =

 =

. 

Поэтому в итоге: .

ПРАКТИКА

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Элементарные преобразования

Задача 268. Вычислить .

Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.

 =  =  = . 

Ответ. .

Задача 269. Вычислить .

Решение. Замечая, что , преобразуем так:

 =  =  = .

Ответ. .

Задача 270. Вычислить . 

Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак,  = . Теперь интеграл имеет вид  и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 271. Вычислить .  

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

 =  =  =  =

 =  и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 272. Вычислить .

Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

 =  =  .

Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда  =  =  что тоже приводит к .

Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:   

Ответ. .

Задача 273.  Вычислить .

Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

 =  = .

С помощью замены  сводится к интегралу: 

 = , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

 Ответ. .

Задача 274. Вычислить .

Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим  = .

В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается  =  = .

Ответ. .

 

Задача 275. Доказать формулу . 

Решение. Известно, что .

В выражении  Вынесем за скобку  в знаменателе.

 = , далее цель - получить  везде, в том числе и под знаком дифференциала, чтобы сделать замену . Домножим и поделим на :

=  =  =

 =  = .

Задача 276. Вычислить .

Решение.  =  =  =  = .

Для того, чтобы применить формулу,

нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто  а :

 =  = .

Теперь интеграл имеет вид , и равен .

После обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

 

 

       Кроме различных арифметических преобразований типа разложения многочленов или дробей, существуют задачи, в которых нужно выполнить тригонометрические преобразования подынтегральной функции.

Задача 277. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям типа  или .

=  =  = .

Ответ. .

 

Задача 278. Вычислить .

Решение. Здесь можно было бы применить формулу для косинуса двойного угла, но это преобразование бы только увеличило степени. Поэтому в данном случае для удобнее применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.

 =  =  =

=  = .

Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.

 =   = .

Ответ. .