Интегралы, содержащие иррациональности, решаемые с помощью тригонометрических функций .

Сейчас мы научимся интегрировать выражения, содержащие   , , или . Эти иррациональности сводятся к тригонометрическим функциям.

Случай 1. .  

Замена: (или ).

Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать , ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .

Далее получается , а корни в этом выражении исчезают так:   =  = . Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.

Пример. Вычислить интеграл .

Здесь , потому что .

Замена . Корень при этом превратится в .

Итак,  =  =  = .

после обратной замены, это .

Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен . Подпишем противолежащий катет и гипотенузу,  и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора .

Ну а тогда косинус равен .

 =  = . 

Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала.

Доказать формулу

С помощью данной замены докажем эту формулу из таблицы интегралов. Сделаем замену , тогда  =  =  = , и обратная замена приводит к .

Случай 2. .

Здесь замена  (либо аналогично ).

Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене . При этом ,

 =  = =  =  = . Таким образом, все корни преобразуются в тригонометрические функции.

 

Случай 3. .

Замена (либо ). Как действует такая замена.

,  =  = =  =  = .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь под корнем сумма квадратов, и при этом , поэтому замена . Тогда ,

 =  =

 =  =  =

 =  =  =  = .

Сделаем обратную замену.

, то есть . Тогда  = .

Упростим композицию (косинус арктангенса) с помощью прямоугольного треугольника, как в прошлой задаче. Тангенс некоторого угла равен , а требуется найти его косинус.

Подпишем 2 катета x и 5. Гипотенуза легко вычислится по теореме Пифагора. Теперь видно, что косинус это .

Итак,  = . Ответ. .

 

Итак, корни вида , ,  могут быть преобразованы к тригонометрическим функциям с помощью замены.

 

§6. Определённый интеграл и его приложения.    

 

Определение. Пусть функция  определена и непрерывна на . Введём разбиение отрезка  на n частей: . Каждый из n элементарных отрезков  обозначим , а его длину . Возьмём какую-то произвольную точку на каждом из этих отрезков, . Следующая сумма:  называется интегральной суммой. Предел  при  и при условии, что  (то есть разбиение отрезка измельчается повсюду, а не только в какой-то его части) называется интегралом функции  по отрезку .

Обозначение: .

Геометрически  означает сумму площадей прямоугольников, высота каждого из которых равна значению в выбираемой точке :

Чем больше n, тем более узкие прямоугольники получаются, и в пределе эта величина стремится к величине площади между графиком и осью. Геометрический смысл интеграла: площадь криволинейной трапеции под графиком (если график выше оси). Впрочем, интеграл может быть и меньше нуля, так, если  то это площадь, расположенная между графиком и осью 0х, взятая с отрицательным знаком.