Проверка гипотез о генеральной нормальной совокупности

Проверка гипотезы о значении генеральной средней при известной генеральной дисперсии

Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой имеют нормальный закон распределения  с неизвестным математическим ожиданием  и известной дисперсией , взята случайная выборка объемом n и пусть  — выборочная средняя арифметическая,  и — определенные значения параметра . Для проверки нулевой гипотезы :  альтернативной гипотезе :  используют статистику (2.27):

,

которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное распределение .

Согласно требованию (2.45) при  выбирают правостороннюю критическую область, при  — левостороннюю, а при конкурирующей гипотезе :  выбирают двустороннюю критическую область.

Границы критической области () находят по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t) из условий:

· в случае правосторонней и левосторонней критических областей

,                                                   (2.46)

где Ф(t) – интегральная функция Лапласа (табл. 1 Приложений);

· при двусторонней критической области

.                                                     (2.47)

Тогда проверка гипотезы сводится к следующему: если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , если , то делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Для вычисления мощности критерия при :  или :  можно воспользоваться формулой:

,                                         (2.48)

где

Пример 10.1. По результатам анализа темпов роста производительности 10 предприятий отрасли, было установлено, что средний темп роста составляет . Предполагая, что темп роста есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с :

а) проверить на уровне значимости  гипотезу :  против альтернативной гипотезы : .

б) вычислить мощность критерия;

в) проверить на уровне значимости  гипотезу :  против альтернативной гипотезы :

Решение.

А. В основе проверки гипотезы о значении генеральной средней при известной дисперсии лежит статистика , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное нормальное распределение. Наблюдаемое значение статистики равно:

.

Так как альтернативная гипотеза : , то гипотеза  отклоняется в пользу гипотезы  при попадании статистики критерия в правостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: .

По таблице функции Лапласа (табл. 1 Приложений):

Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия по модулю не превосходит критического , то можно сделать вывод, что на уровне значимости  гипотеза :  не отвергается (не противоречит опытным данным).

Б. Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной средней при известной дисперсии определяется по формуле (2.48):

, где

Воспользовавшись расчетами пункта а) получим:

Наблюдаемое значение статистики равно:

Так как альтернативная гипотеза : , то гипотеза  отклоняется в пользу гипотезы  при попадании статистики критерия в двустороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: .

По таблице функции Лапласа:

Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия по модулю не превосходит критического , то гипотеза :  отвергается с вероятностью ошибки .

Проверка гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии

Пусть  и  — среднее арифметическое и дисперсия выборки объемом n из нормальной генеральной совокупности X с неизвестными параметрами  и . Тогда для проверки нулевой гипотезы :  при альтернативной гипотезе :  используют статистику (2.27): , которая при выполнении гипотезы  имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с n-1 степенями свободы.

Согласно (2.42) при  выбирают правостороннюю критическую область, при  — левостороннюю, а при конкурирующей гипотезе :  — двустороннюю критическую область.

Границы критической области  определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости а и числа степеней свободы n-1.

Границы критической области  находят по таблице функция t-распределения (  (v — число степеней свободы)) из условий:

•  в случае односторонней критической области используется условие:

,                                    (2.49)

•  в случае двусторонней критической области:

.                                      (2.50)

Проверка гипотезы сводится к следующему: если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , если , делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Мощность критерия в случае односторонней критической области определить по формуле:

,                                         (2.51)

где  – определяется по таблице t-распределения Стьюдента (табл. 2 Приложений) для вероятности  и числа степеней свободы v=n-1.

Пример 10.2. По данным примера 2.14 и в предположении, что истинное значение дисперсии темпов роста производительности неизвестно, а по выборке получено S=0,4, проверить на уровне значимости  гипотезу : против альтернативной гипотезы :  и вычислить мощность критерия.

Решение.

В основе проверки гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной дисперсии лежит статистика , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с n-1 степенями свободы.

Наблюдаемое значение статистики равно:

Так как альтернативная гипотеза : , то гипотеза  отклоняется в пользу гипотезы  при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: .

По таблицам t-распределения:

Вывод. Поскольку наблюдаемое значение статистики критерия по модулю не превосходит критического , то можно сделать вывод, что на уровне значимости  гипотеза :  не противоречит опытным данным. Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной дисперсии определяется по формуле (2.51):

Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей при известных генеральных дисперсиях

Пусть X и Y — нормальные генеральные совокупности с известными дисперсиями  и неизвестными математическими ожиданиями .

Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объемом . Пусть  — средние арифметические выборочных совокупностей.

Для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних :  можно использовать статистику:

,

которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированный нормальный закон распределения.

Выбор критической области зависит от конкурирующей гипотезы . Согласно (2.45) при :  выбирают правостороннюю, при :  левостороннюю, а при :  — двустороннюю критические области.

Границы критической области при заданном а находят по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t) из условия (2.46)  для правосторонней и левосторонней критических областей и (2.47)  — для двусторонней области.

Проверка гипотезы сводится к следующему: если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , если , то делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей при неизвестны генеральных дисперсиях

Пусть X и У нормальные совокупности с равными, но неизвестными дисперсиями  и математическими ожиданиями . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки с параметрами . На уровне значимости  требуется проверить нулевую гипотезу : .

В основу критерия для проверки нулевой гипотезы положена статистика (2.31):

,

которая при выполнении нулевой гипотезы  имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы.

При заданном уровне значимости  выбор критический области зависит от конкурирующей гипотезы: при :  выбирают правостороннюю, при :  левостороннюю, а при :  – двустороннюю критические области.

Критерий проверки гипотезы заключается в следующем: если , где  (для правосторонней и левосторонней критических областей) или  (для двусторонней критической области) то гипотезу отвергают, если же , то делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.