Интервальные оценки генеральной средней

(математического ожидания)

Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией  взята случайная выборка объемом n. В качестве основы интервальной оценки математического ожидания используется точечная оценка  — среднее арифметическое , относительно которого строится симметричный интервал.

При этом правила построения доверительного интервала для математического ожидания зависят от того, известна или неизвестна дисперсия генеральной совокупности .

1. Доверительный интервал для     при известной дисперсии . В соответствии со статистикой (2.27), имеющей стандартный норный закон распределения N(0,1) и используя свойство стандартной нормальной случайной величины  (1.49) получим:

,

где Ф(t) – интегральная функция Лапласа  (табл. 1 Приложений), подробно рассмотренная в п. 7.3. гл. 7 «Нормальный закон распределения».  (  – обратное преобразование).

Построение доверительного интервала с заданной надежностью   для генеральной средней при известной генеральной дисперсии осуществляется по формуле:

,                              (2.36)

где  – значение стандартной нормальной величины, соответствующее надежности :  (  – интегральная функция Лапласа *табл. 1 Приложений)).

очность оценки генеральной средней равна: .

Пример 9.9. Анализ доходности акций на основе случайной выборки за 16 дней показал, что средняя доходность составляет 10,37%. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения:

а) определить ширину доверительного интервала для средней доходности с надежностью у=0,97, если известно, что =2%;

б) найти доверительную вероятность того, что точность оценивания составит б=0,98%;

в) определить минимальное число наблюдений, которое необходимо провести, чтобы с вероятностью у=0,99 можно было утверждать, что средняя доходность заключена в интервале шириной 3%.

Решение.

А. Так как дисперсия генеральной совокупности известна, то при построении доверительного интервала для генеральной средней будем исходить из (2.36).

Для заданной надежности у определим значение  по таблице функции Лапалса (табл.1 Приложения) , откуда ширина доверительного интервала средней доходности: .

Б. Точность оценивания генеральной средней определяется, как откуда . Следовательно, доверительная вероятность интервального оценивания генеральной средней при известной дисперсии равна:

По таблицам функции Лапласа, у=Ф(1,967)=0,95.

В. Ширина доверительного интервала генеральной средней: , откуда . Для заданной надежности y определим значение , по таблицам функции Лапласа, , откуда минимальное число наблюдений, которое необходимо провести, чтобы с вероятностью у=0,99 можно было утверждать, что средняя доходность заключена в интервале шириной 3%, равно:

Округлять нужно в большую сторону, так как необходимо обеспечить заданную надежность, следовательно, необходимо провести как минимум 12 наблюдений.

2. Доверительный интервал для  при неизвестной дисперсии . Согласно статистике (2.28), имеющей распределение Стьюдента (t-распределение) с v=n-1 степенями свободы:

.

Построение доверительного интервала с заданной надежностью y для генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии осуществляется по формуле:

,                                 (2.37)

где  – значение функции распределения Стьюдента (t-распределения) (табл. 2 Приложений), соответствующее v=n-1 степеням свободы и вероятности ; .

Точность оценки генеральной средней равна: .

Пример 9.10. По данным примера 9.9, при условии, что на основе случайной выборки за 16 дней получена оценка S=2,5%:'

а) определить верхнюю границу доверительного интервала для средней доходности с надежностью у=0,9;

б) найти доверительную вероятность того, что средняя доходность заключена в интервале (10,35%; 10,39%).

Решение.

А. Так как точное значение дисперсии генеральной совокупности неизвестно, то при построении доверительного интервала для генеральной средней будем исходить из формулы (2.37).

Для заданной надежности у определим значение по таблице t-распределения Стьюдента (табл. 2 Приложения): , откуда верхняя граница доверительного интервала:

.

Б. Поскольку интервал (10,35%; 10,39%) симметричен относительно точечной оценки математического ожидания ( =10,37%), точность оценивания генеральной средней при неизвестной дисперсии определяется, как , откуда

.

Далее в таблице t-распределения Стьюдента для числа степеней свободы

v=n-1=16-1=15 (табл. 2 Приложения) берем ближайшее к полученному значению t и получаем приближенное значение надежности:

Чтобы получить более точное значение вероятности  и надежности y, необходимо прибегнуть к методу линейной интерполяции при использовании таблицы 2 или воспользоваться компьютерными программами, например, встроенной статистической функцией ППП Microsoft Excel СТЬЮДРАСП. Доверительная вероятность интервального оценивания генеральной средней при неизвестной дисперсии равна: