Теорема о свойствах функции распределения дискретной случайной величины.

Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал (a,b) и составить перечень

всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной. В результате этого появилась

необходимость дать общий способ задания любых типов случайных величин. Для этого вводится функция распределения

вероятностей случайной величины. Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины имеет вид:

,

(5.7)

где: f(х) – функция плотности вероятности вычисляется по формуле:

.

(5.8)

Функцию распределения F(х) называют интегральным законом распределения, плотность вероятности f(х).

называют дифференциальным законом распределения.

Свойства функции распределения F(х):

Свойство 1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]:

0 £ F(х) £ 1.

Свойство 2. F(х) – неубывающая функция:

F (х₁) £ F(х₂ ), если х₁< х₂.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b)

равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р (а £ Х <b) = F(b) – F(а).

Свойство 3.Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то:

F(x)=0 при x£a;

F(x)=1 при x³b.

Следствие 2. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то:

; .

Свойства плотности вероятности f(х):

Свойство 1. Плотность вероятности не может быть отрицательной: f(х) ³ 0.

Свойство 2.

.

(5.9)

Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале (a, b),

то вероятность попадания в заданный интервал

.

(5.9а)

Функция распределения связана с плотностью формулой:

.