П.4. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой.

Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)- поле скаляров. А -  матрица.

-алгебраическое дополнение элемента .

Определение. Присоединённой к матрице А называется матрица

Теорема. Если , то матрица А – обратима и

Доказательство. Если , то по теореме 2 п.3 матрица А обратима.

Рассмотрим матрицу , обозначим

Имеем

Значит матрица

Доказали что , то есть  значит .                                              ■

Пример 1.  Вычислить обратную матрицу с помощью присоединённой матрицы, то есть по формуле: , где А= .

Решение.

Вычислим определитель матрицы и алгебраические дополнения элементов матрицы.

 

=-1

 

Тогда присоединённая матрица =

Пример2. . Для данной матрицы второго порядка,

вывести формулу для вычисления  с помощью присоединённой матрицы.

Ответ: .

Пример 3.

 Найти обратную матрицу , используя формулу:

.

Решение.

Вычислим определитель матрицы:

 

,

 

Найдем присоединенную матрицу по формуле:

 

, где  - алгебраическое дополнение элемента .

.

Тогда

.

 

Пример 4. Найти обратную матрицу , используя формулу: ,

.

 

Решение. Найдем определитель матрицы:

 

;

 

Вычислим алгебраические дополнения:

 

;                        ;

 

;                         ;

 

;                         ;

 

;                            ;

 

;

Тогда

.

 

Следовательно

 

.

 

Пример 5.   Найти обратную матрицу , используя формулу: ,

Решение.  Найдем определитель матрицы:

 

;

 

;               ;

 

;       ;

 

;  ;

 

 

;  ;

 

;                          ;

 

;                            ;

 

;                    ;

 

;                         ;

 

;

 

.

Для самостоятельного решения.

Найти обратную матрицу , используя формулу:

1) ;                              2) ;

 

3) ;                              4) ;

5) ;                        6) ;

 

7) ;                        8) ;

 

9) ;                            

10)                              11) ;

 

12) ;                   13) ;

 

П.5. Решение матричных уравнений.

Теорема. ;

;

.

Пример1. Решить матричные уравнения вида AX = B:

 

.

  Решение. ;

Вычислим : ,

 

Тогда :

 

.

              

 

Для самостоятельного решения:

1) ;       2) ;

 

3) ;       4) ;

 

6) ;

 

7) ;            8) ;

 

9) ; 

 

10) .

 

Пример 2.  Решить матричные уравнения вида :

. 

Решение. ,

,

.

                

 

Для самостоятельного решения:

1) ;   2) ;

 3) ;                4) ;

 

5) ;                   

 

6) ;

 

7) .

 

Пример 3. Решить матричные уравнения вида :

1) ;

 

Решение.

.

 

1)

 

,

 

 

 

,

,

 

.

 

2) .

Решение.

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Для самостоятельного решения:

3) ; 

 

4) ;

 

5) ;  

 

6) .

П.6. Записи решения системы n-линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.

Рассмотрим систему:

, , - вектор-столбец.

Теорема 1. Если строки матрицы А линейно независимы, то система (1) имеет единственное решение: .

Доказательство. Рассмотрим

Систему (1) можно записать в матричной форме:

Так как строки матрицы А линейно независимы, то матрица А обратима: .                                                                                          ■

Определение. Уравнение  называется матричной формой записи системы уравнений (1).

Пример 1. Решить систему уравнений методом обратной матрицы:

Решение.

-основная матрица, .

Систему (3) можно записать в виде: .

;   А - обратима, поэтому = =

= ; = ; = , где

Ответ: = .

Пример 2.. Решить систему уравнений методом обратной матрицы:

Решение.

, , .

Запишем систему (4) матричной форме: = =

;

Ответ: .

    ■

П.7. Правило Крамера.

Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)- поле скаляров.

;

;

-столбец свободных членов.

- алгебраическое дополнение .

Теорема 1. Если определитель матрицы А не равен нулю, то система (1) имеет единственное решение, которое задаётся равенствами:

 

 

где матрица  получена из матрицы А заменой i -ого столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Запишем систему (1) в матричной форме:

; по условию , значит матрица А – обратима, тогда

. =

Формулы (2) называются формулами Крамера.                             ■

 

Пример 1. Найти решение системы по правилу Крамера.

, .

,

,

Ответ:

Пример 2. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

 

1)

 

Решение.

1) Найдем определитель системы:

 

Вычислим определители, заменяя столбцом свободных членов поочередно столбцы основного определителя:

 

;

 

;

 

;

 

;

 

Получим .

Ответ:

Для самостоятельного решения 2) – 5).

2)

 

3)

 

4)

 

5)