Свойства элементарных матриц.

Лекция 11

Обратная матрица.

 Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матри­цы. Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Решение матричных уравнений вида AX = B и XA = B с невырожден­ной матрицей А. Формулы Крамера.

п.1. Обратная матрица и ее свойства

Определение 11.1. Пусть A — квадратная матрица порядка п. Квадратную матрицу B того же порядка называют обратной к A, если AB = BA = E, где E — единичная матрица порядка п.

Обратную матрицу обозначают A^-1. Она позволяет определить целую отрицательную сте­пень матрицы A.

А именно, для п > 0 полагают   ЕA^-n = (A^-1)ⁿ.

Из определения следует, что если матрица В - обратная к матрице А, то матрица А - обратная к матрице В. Поэтому А и В – взаимообратные.

 

Теорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная.

◄ Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В¹. Тогда, согласно определе­нию 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB¹ = E и BA = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB¹) = (BA)B¹ = EB' = B¹, т.е. матрицы B и B¹ совпадают. ►

Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следующий критерий.

Теорема 11.2. Для того чтобы квадратная матрица A порядка п имела обратную, необхо­димо и достаточно, чтобы det A  0.

◄  Необходимость. Дано: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A^-1.

Доказать: det A 0.

Доказательство необходимости. По условию, A^-1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA^-1) = detE = 1. По, свойству определителей имеем:

det(AA^-1) = det A det A^-1. Поэтому det A det A^-1 = 1 и, следовательно,

det A 0.

◄ Достаточность. Дано: det A  0.  Доказать: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A^-1.

Доказательство достаточности.

Обозначим через A_ij алгебраическое дополнение матрицы А, соответствующее элементу a_ij, т.е. Aj = (—1)^i+jM_ij, где M_ij — минор этого же элемента.

Раскрывая определитель матрицы A по i-й строке, получаем равенство

 

 

 

следовательно, матрица С' также является единичной.

Согласно определению 11.1, матрица B является обратной для A:

 B = A^-1. ►

Следствие 11.1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то

 det A^-1 = (det A)^-1.

◄ Действительно, det A^-1 det A = det(A^-1A) = det E =1. ►

Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или нео­собой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют выро­жденной. Итак, для существования обратной матрицы A^-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Теорема 11.3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)^-1 = B^-1A^-1.

◄ В соответствии с определением 11.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства: (AB)B^-1A^-1 = E, (B^-1A^-1)(AB) = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем

(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1 = AEA^-1 = AA^-1 = E,

(B^-1A^-1)(AB) = B^-1(A^-1A)B = B^-1EB = B^-1B = E.    ►

Теорема 11.4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная ма­трица A^T имеет обратную, причем (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Нужно убедиться, что  и . Используя свойство произведения матриц относительно операции транспонирования, имеем

A^T(A^-1)^T = (A^-1A)^T = E^T = E, (A^-1)^TA^T = (AA^-1)^T = E^T = E.

Лемма

1) Произведение обратимых матриц - обратимая матрица

2) Если А - обратима, то обратная к ней, , обратима, и .

3) Единичная матрица Е обратима, и .

Обозначение.  Множество всех обратимых матриц порядка n над полем Р обозначается

П.2. Элементарные матрицы.

Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)-поле скаляров.

Определение. Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы Е в результате одного из следующих элементарных преобразований:

1) Умножение одной строки(столбца) матрицы Е на скаляр ≠0.

2) Прибавление к какой-либо строке матрицы Е другой строки, умноженной на скаляр .

Обозначение. - элементарная матрица, полученная умножением на  стоки (столбца) матрицы Е.

- элементарная матрица, полученная прибавлением к i -ой строке (столбцу) матрицы Е j -ой стоки(столбца), умноженной на .

 

Пример. Элементарные матрицы порядка

n=2:

Обозначение. - элементарная матрица, полученная из Е элементарным преобразованием .

Свойства обратимости

Пример 3.

 Найти обратную матрицу , используя формулу:

.

Решение.

Вычислим определитель матрицы:

 

,

 

Найдем присоединенную матрицу по формуле:

 

, где  - алгебраическое дополнение элемента .

.

Тогда

.

 

Пример 4. Найти обратную матрицу , используя формулу: ,

.

 

Решение. Найдем определитель матрицы:

 

;

 

Вычислим алгебраические дополнения:

 

;                        ;

 

;                         ;

 

;                         ;

 

;                            ;

 

;

Тогда

.

 

Следовательно

 

.

 

Пример 5.   Найти обратную матрицу , используя формулу: ,

Решение.  Найдем определитель матрицы:

 

;

 

;               ;

 

;       ;

 

;  ;

 

 

;  ;

 

;                          ;

 

;                            ;

 

;                    ;

 

;                         ;

 

;

 

.

Для самостоятельного решения.

Найти обратную матрицу , используя формулу:

1) ;                              2) ;

 

3) ;                              4) ;

5) ;                        6) ;

 

7) ;                        8) ;

 

9) ;                            

10)                              11) ;

 

12) ;                   13) ;

 

Решение.

.

 

1)

 

,

 

 

 

,

,

 

.

 

2) .

Решение.

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Для самостоятельного решения:

3) ; 

 

4) ;

 

5) ;  

 

6) .

П.7. Правило Крамера.

Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)- поле скаляров.

;

;

-столбец свободных членов.

- алгебраическое дополнение .

Теорема 1. Если определитель матрицы А не равен нулю, то система (1) имеет единственное решение, которое задаётся равенствами:

 

 

где матрица  получена из матрицы А заменой i -ого столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Запишем систему (1) в матричной форме:

; по условию , значит матрица А – обратима, тогда

. =

Формулы (2) называются формулами Крамера.                             ■

 

Пример 1. Найти решение системы по правилу Крамера.

, .

,

,

Ответ:

Пример 2. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

 

1)

 

Решение.

1) Найдем определитель системы:

 

Вычислим определители, заменяя столбцом свободных членов поочередно столбцы основного определителя:

 

;

 

;

 

;

 

;

 

Получим .

Ответ:

Для самостоятельного решения 2) – 5).

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

Пример.

r=1:

r=2:

Теорема. Ранг ненулевой матрицы А равен наибольшему из порядков ненулевых миноров матрицы А.

Доказательство. Так как А - ненулевая матрица, А ≠0, то она имеет некоторый ранг Докажем что А имеет хотя бы один ненулевой минор порядка r. , значит матрица А имеет r линейно независимых строк. Пусть В - матрица порядка , состоящая из r ненулевых строк матрицы А. значит В имеет r линейно независимых столбцов. Пусть С - матрица, состоящая из r линейно независимых столбцов матрицы В, тогда её размерность .

По теореме 2 п.3 , так как столбцы С линейно независимы. Значит есть ненулевой минор порядка r матрицы А.

Пусть М - минор порядка матрицы А. При любые k -строк матрицы А линейно зависимы. Поэтому линейно зависимы строки любой квадратной матрицы , подматрицы матрицы А. Тогда по теореме 1 п. 3 равен нулю любой минор порядка матрицы А.                       ■

 

Лекция 11

Обратная матрица.

 Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матри­цы. Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Решение матричных уравнений вида AX = B и XA = B с невырожден­ной матрицей А. Формулы Крамера.

п.1. Обратная матрица и ее свойства

Определение 11.1. Пусть A — квадратная матрица порядка п. Квадратную матрицу B того же порядка называют обратной к A, если AB = BA = E, где E — единичная матрица порядка п.

Обратную матрицу обозначают A^-1. Она позволяет определить целую отрицательную сте­пень матрицы A.

А именно, для п > 0 полагают   ЕA^-n = (A^-1)ⁿ.

Из определения следует, что если матрица В - обратная к матрице А, то матрица А - обратная к матрице В. Поэтому А и В – взаимообратные.

 

Теорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная.

◄ Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В¹. Тогда, согласно определе­нию 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB¹ = E и BA = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB¹) = (BA)B¹ = EB' = B¹, т.е. матрицы B и B¹ совпадают. ►

Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следующий критерий.

Теорема 11.2. Для того чтобы квадратная матрица A порядка п имела обратную, необхо­димо и достаточно, чтобы det A  0.

◄  Необходимость. Дано: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A^-1.

Доказать: det A 0.

Доказательство необходимости. По условию, A^-1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA^-1) = detE = 1. По, свойству определителей имеем:

det(AA^-1) = det A det A^-1. Поэтому det A det A^-1 = 1 и, следовательно,

det A 0.

◄ Достаточность. Дано: det A  0.  Доказать: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A^-1.

Доказательство достаточности.

Обозначим через A_ij алгебраическое дополнение матрицы А, соответствующее элементу a_ij, т.е. Aj = (—1)^i+jM_ij, где M_ij — минор этого же элемента.

Раскрывая определитель матрицы A по i-й строке, получаем равенство

 

 

 

следовательно, матрица С' также является единичной.

Согласно определению 11.1, матрица B является обратной для A:

 B = A^-1. ►

Следствие 11.1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то

 det A^-1 = (det A)^-1.

◄ Действительно, det A^-1 det A = det(A^-1A) = det E =1. ►

Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или нео­собой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют выро­жденной. Итак, для существования обратной матрицы A^-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Теорема 11.3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)^-1 = B^-1A^-1.

◄ В соответствии с определением 11.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства: (AB)B^-1A^-1 = E, (B^-1A^-1)(AB) = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем

(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1 = AEA^-1 = AA^-1 = E,

(B^-1A^-1)(AB) = B^-1(A^-1A)B = B^-1EB = B^-1B = E.    ►

Теорема 11.4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная ма­трица A^T имеет обратную, причем (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Нужно убедиться, что  и . Используя свойство произведения матриц относительно операции транспонирования, имеем

A^T(A^-1)^T = (A^-1A)^T = E^T = E, (A^-1)^TA^T = (AA^-1)^T = E^T = E.

Лемма

1) Произведение обратимых матриц - обратимая матрица

2) Если А - обратима, то обратная к ней, , обратима, и .

3) Единичная матрица Е обратима, и .

Обозначение.  Множество всех обратимых матриц порядка n над полем Р обозначается

П.2. Элементарные матрицы.

Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)-поле скаляров.

Определение. Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы Е в результате одного из следующих элементарных преобразований:

1) Умножение одной строки(столбца) матрицы Е на скаляр ≠0.

2) Прибавление к какой-либо строке матрицы Е другой строки, умноженной на скаляр .

Обозначение. - элементарная матрица, полученная умножением на  стоки (столбца) матрицы Е.

- элементарная матрица, полученная прибавлением к i -ой строке (столбцу) матрицы Е j -ой стоки(столбца), умноженной на .

 

Пример. Элементарные матрицы порядка

n=2:

Обозначение. - элементарная матрица, полученная из Е элементарным преобразованием .

Свойства элементарных матриц.

1) Любая элементарная матрица обратима.

2) Произведение элементарных матриц является обратимым.

Доказательство. Очевидно: элементарная матрица являются обратимой, а произведение обратимых матриц - обратимо.

3) Пусть -элементарное преобразование 1-го или 2-го вида, . Если матрица В получается из матрицы А элементарным преобразованием , то

 

4) Если матрица С получена из матрицы А цепочкой элементарных преобразований вида 1 и 2 , то С = .