Метод наименьших квадратов, моделирование линейных однофакторных процессов на базе корреляционно-регрессионного анализа

Подбор формул по экспериментальным данным называется подбором эмпирических формул. Обычно по виду экспериментального распределения точек сначала задаются приблизительным видом формула, а затем, пользуясь результатами опыта, определяют значения постоянных величин, входящих в формулу.

Предположим, что необходимо установить зависимость усвоения жидким металлом кремния Si в расплав раскислителя – (FeSi). Допустим, что было проведено 10 плавок, в каждой из которых изменялось содержание вводимого FeSi и определялась концентрация кремния в готовом металле. Результаты опытов представлены в табл. 1, а экспериментальная зависимость на рис. 1.

 

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Расход FeSi, кг/т	0,5	0,75	1,0	1,25	1,50	1,75	2,0	2,25	2,75	3,0
Si, %	0,084	0,11	0,08	0,13	0,10	0,15	0,12	0,20	0,17	0,25

 

Как видно из рис. 1 расположение экспериментальных точек представляет некоторую область, обведённую пунктиром, которую с известным приближением можно описать прямой линией, пресекающейся с осью координат.

Рис.1. Содержание  в металле в зависимости от расхода

 

Как известно, эта прямая описывается выражением:

                         ,                                        (1)

Если перейти непосредственно к нашим координатам, то выражение (1) предстанет в несколько изменённом «технологическом» виде:

                         ,                                  (2)

где  - содержание кремния в готовом металле, %;

     - расход ферросислиция, кг/т.

Таким образом, представленная на рис. 1 прямая, описываемая выражениями (1) или (2), представляет зависимость содержания кремния от расхода ферросилиция при плавке стали. Т.е. уравнение (2) является математической моделью исследуемой зависимости , и чтобы найти расположение полученной прямой на плоскости, необходимо определить входящие в уравнения 1 и 2 неизвестные коэффициенты  и .

Поставим задачу о нахождении таких коэффициентов  и , при которых прямая (1)  наилучшим образом соответствует опытным данным. За меру отклонения искомой функции от экспериментальных данных для i-того опыта выберем величину

                              ,                                        (3)

где  - значения независимой переменной (в нашем случае расход ) в i-том опыте

    - экспериментальное значение , полученное в i-том опыте (в нашем случае содержание кремния).

Предположим, что  и  уже определены. Тогда уравнение 3 представляет меру отклонения содержания кремния, полученного в i-том опыте () от содержания кремния, полученного расчётным путём для этого же i-того опыта по формулам 1 или 2. На рис. 1  - это изображённые экспериментальные точки, а все расчётные точки лежат на прямой .

В качестве меры общих отклонений для  опытов возьмём сумму мер отклонений для каждого опыта:

                                                                   (4)

При этом поставим условие, что коэффициенты  и  должны определяться при сумме мер отклонений для всех опытов, стремящейся к минимуму, т.е. при .

Метод определения констант, входящих в формулу, исходя из требования, чтобы общее отклонение для всех опытов было минимальным, называется методом наименьших квадратов.

Заметим, что если для какого-то i-того опыта разность   составляет десять единиц, то в величину S, согласно выражения 4 это отклонение внесёт расхождение уже в сто единиц. С другой стороны, наличие отклонения в каждом из 10 опытов, равного 1 единице, обусловит общее отклонение для всех 10 опытов, равное 10.

Таким образом, на величину S влияют самые большие, грубые ошибки. А малые ошибки даже если они встречаются часто, вносят незначительные погрешности. Метод наименьших квадратов нацелен на устранение самых больших отклонений.

Следовательно, чтобы найти коэффициенты  и , при которых сумма отклонений S для всех опытов была бы минимальной, необходимо продифференцировать выражение 4 по  и , и приравнять полученные равенства нулю.

Решение этой задачи разобьём на 2 этапа.

Предположим, что коэффициент  уже известен и необходимо определить только коэффициент .

                     ,                 (5)

Предположим, что коэффициент  уже известен и необходимо определить только коэффициент .

                           ,                 (6)

После перемножения и перенесения полученных выражений в правую часть будем иметь систему двух уравнений с двумя неизвестными:

                                 ,                    (7)

Решая эту систему получим:

                            ,                             (8)

Коэффициент  можно определить из уравнения 1, заменяя  и их средними значениями.

                          ,                         (9)

Таким образом, по формулам (8) или (9) мы находим численные значения коэффициентов  и , что полностью определяет положение искомой прямой, описывающей исследуемую зависимость (1) или (2).

 

************************************************************************************

Принципы системного подхода

Системный подход в качестве научных исследований основывается на некоторых принципах диалектики: взаимосвязь и развитие, зависимость и независимость, качественное различие части и целого, и имеет свои специфические черты.

к ним можно отнести следующие принципы:

Принцип системности. Системный подход связан с созданием и исследованием объектов как систем, он относится только к системам.

Принцип иерархичности. Каждый объект должен рассматриваться на трех уровнях: изучение самого предмета, изучение предмета в качестве элемента более общей системы, изучение предмета в соотношении с составляющими его элементами.

Принцип интеграции. Системный подход направлен на изучение общих свойств и закономерностей систем и комплексов систем, на раскрытие основных механизмов объединения элементов в целое.

Принцип формализации. Системный подход нацелен на получение количественных характеристик систем, на разработку методов
описания, анализа и синтеза систем.

************************************************************************************

Важнейшим элементом системного подхода является системный
анализ. Существуют следующие основные методы системного знализа: эвристическое программирование, методы аналогии, аналитические методы и имитационное моделирование.

Эвристическое программирование основывается на принципах
анализа деятельности человека, решающего сложную задачу со значительной степенью неопределенности. Важнейшими в нем являются
различные методы экспертных оценок.

Методы аналогии чаще всего используют бионические аспекты
рассматривая биологические системы в качестве прототипов сложных систем
и используя многовековой опыт живой
природы в процессе длительной эволюции. Аналогии могут использоваться при рассмотрении сложных систем по каким-то отдельным
характеристикам, сводя их к известным и хорошо изученным процессам (течение идеального газа, диффузионные процессы и т. п.).

Аналитические методы системного анализа весьма разнообразны. Это теория принятия решений, теория графов, метод "черного
ящика" и многие другие.

В системном анализе наибольшее значение имеет моделирова
ние, особенно имитационное, под которым понимается как процесс
формирования модели на ЭВМ, так и проведение на этой модели
экспериментов в целях выявления свойств системы и путей ее создания, совершенствования и использования. Имитационные модели
позволяют заменить эксперименты в реальных условиях экспериментами в искусственной среде, наглядно представить невоспроизводимые ранее процессы, обеспечивать стабильность проведения экспериментов.

***********************************************************************************