Нормальное (гауссово) распределение

Нормальное распределение самое важное по нескольким причинам.

Прежде всего, многие собранные в результате экспериментов данные можно успешно описать нормальным распределением, или, по крайней мере, нормальное распределение может стать первым приближением.

Не существует таких распределений эмпирических данных, которые были бы в точности нормальными.

Зато как приближение нормальное распределение очень часто хорошо подходит. Проводятся ли какие-либо измерения в технологическом процессе, рассматриваются ли ошибки измерений, проводится ли контроль температуры, оценивается ли концентрация или же собираются данные, подверженные влиянию множества случайных источников вариации,— как правило, оказывается, что данные распределены приблизительно по нормальному закону.

Предположение о нормальном распределении как основа для анализа выборочных данных очень часто используется при построении статистической теории. Распределение многих выборочных статистик стремится к нормальному при возрастании объема выборки.

Функция НР и график этой функции приведен на рис..

Нормальное распределение симметрично относительно среднего, медианы и моды, которые совпадают и равны μ. Его среднее квадратическое отклонение σ (или корень квадратный из дисперсии) дает расстояние от μ, до каждой из двух точек перегиба.

*************************************************************************************

Числовые характеристики

Составление таблиц необработанных данных и последующее графическое представление их в виде гистограммы, дает большой объем информации. Однако нередко этого бывает недостаточно, и требуется охарактеризовать имеющуюся совокупность значений некоторыми количественными показателями.

Характеристики положения

Существует несколько характеристик положения (или мер положения центра) совокупности эмпирических данных. Наиболее распространенными из них являются среднее (арифметическое среднее), медиана и мода.

Среднее равно:

 =        i = 1, 2…n                                       (1)

Однако если данные сгруппированы, как в табл. x’i— срединное значение i-ro интервала, fi—частота попадания в данный интервал, то

 =   i = 1,2…R(2)

где n обозначает общий объем выборки, a R — число интервалов.

Таким образом, средний объем плавок за неделю исходя из формулы (2) на основании таблицы 1 или гистограммы, построенной по данным этой таблицы будет определяться выражением:

 =  = 128,43

Медиана  представляет собой такое значение х, что одна половина значений х меньше ее, а другая—больше (медиана делит площадь гистограммы пополам).

При четном числе наблюдений медиана не может быть определена точно; например, медиана совокупности 3, 7, 5, 4 представляет собой число, лежащее между 4 и 5.

Мода —это наиболее часто появляющееся значение x. Если данные сгруппированы, то в качестве моды обычно выбирается срединное значение интервала с наибольшей частотой.

В нашем случае, мода = 129, т.е. серединному значению интервала (127-131), имеющему наибольшее количество частот попаданий.

В качестве еще одной характеристики положения может использоваться и среднее геометрическое. В случае выборки объема n среднее геометрическое определяется как:

Характеристики рассеивания

Существует несколько характеристик, при помощи которых можно оценить рассеивание статистических величин. Наиболее простой из них является размах R

R = Xmax – Xmin = 141-116=25

Однако эта характеристика ничего не говорит о распределении всех наблюдаемых величин между крайними значениями. Т.е. характер рассеяния (разброса) остальных точек неизвестен

Одной из наиболее часто используемых характеристик рассеяния (или разброса) данных является среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Вначале определим квадрат этой величины, называемый дисперсией. Для выборки не сгруппированных данных дисперсия находится как

S2 =                                                                            (3)

Среднее квадратическое отклонение определяется как положительный квадратный корень из дисперсии. Для несгруппированных данных

S =                                                            (5)

************************************************************************************