Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения

Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения y(x) методом разделения переменных.

Запишем уравнение в виде  и проинтегрируем обе части равенства с учетом начальных условий.

 ;

 

Из начальных условий найдем константу c:

  , следовательно

 

Таким образом, аналитическое (точное) решение дифференциального уравнения

 

Значения точного решения ОДУ – y(x)

Вычислим значения полученного решения y (x_i), где , на отрезке [1;6] с шагом изменения аргумента h=0.5:

 

Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета.

 Выполним «ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера. Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию ye (x)) в  первых 4-х точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, т.е. на отрезке [1;3].  

Для этого ОДУ записывают в виде y’=f(x,y).

Рекуррентная формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид: y_i+1=y_i+h×f(x_i,y_i), где , .

Таким образом, в нашем случае формула расчета имеет вид: , где i =0,1,2,3,4. Очередное значение аргумента функции рассчитывается по формуле .

Решение:

Задано ОДУ , с начальными условиями x₀=1, y₀=1 и шагом интегрирования h=0.5. Т.е. . Расчет 4-х точек решения ОДУ методом Эйлера:

,

,

 

 ,

 

,

 

Таким образом, численное решение ОДУ методом Эйлера есть табличная функция ye(x):

 

x	ye(x)
1	1
1.5	2
2	2.75
2.5	3.477
3	4.196

 

Формула для оценки погрешности решения ОДУ методами Рунге-Кутты имеет следующий вид:

 

где p – порядок метода Рунге-Кутты. При этом в каждой точке х_i по формуле, соответствующей методу, производится расчет y_i с шагом h (y_i^(h)) и с шагом h/2 (y_i^(h/2)). Расчет по приведенной формуле называется методом двойного просчета или правилом Рунге.

    Выполним оценку погрешностей полученного методом Эйлера решения ОДУ по этому правилу. Для этого необходимо решить ОДУ с шагом h/2=0.25.

, с начальными условиями x₀=1, y₀=1 и шагом интегрирования h=0.25

x₁=1.25

 

x₂=1.5

 

 

x₃=1.75

 

 

x₄=2

 

 

x₅=2.25

 

 

x₆=2.5

 

 

x₇=2.75

 

x₈=3

 

Оценим погрешность решения ОДУ методом Эйлера (или методом Рунге-Кутты 1 порядка, где p=1)  по формуле:  для каждой точки и сведем вычисления в таблицу:

x	ye(x)( h)	ye(x)( h/2)	R
1	1	1
1.25		1.5
1.5	2	1.917	0.083
1.75		2.308
2	2.75	2.687	0.063
2.25		3.059
2.5	3.477	3.427	0.05
2.75		3.792
3	4.196	4.155	0.041

 

Численное решение ОДУ методом Эйлера с использованием Mathcad

Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию y1(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5 _, используя математический пакет Mathcad:

 

Решение методом Эйлера (Рунге-Кутты 1 порядка) - ф-ция y1:        Начальные условия: Формулы для расчета:   Вывод всей таблицы-решения:

Численное решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2 порядка с использованием Mathcad

Найдем значения численного решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2 порядка (функцию y2(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5 _, используя математический пакет Mathcad, по расчетной формуле метода Рунге-Кутты 2 -го порядка:

:

 

Решение методом Рунге-Кутты 2 порядка - функция y2:        Начальные условия:  Формулы для расчета:   Вывод всей таблицы-решения: