Индуцированные представления

 

Пусть  – группа и  – ее подгруппа. Обозначим через  и  порядки групп  и  соответственно. Если  – некоторая функция на , то через  обозначим ее ограничение на . В случае когда  – функция классов на ,  также является функцией классов на . Если  – характер некоторого представления  группы , то  представляет собой характер ограничения  представления  на .

По функции , заданной на , определим функцию  на  правилом

 

полагая  для , не принадлежащих . Отметим, что  является функцией классов на , даже еслм  не является функцией классов на . Если  не сопряжен ни с каким элементом из , то .

Лемма 5.1. Пусть  – функция классов на группе , а  – функция классов на подгруппе  группы . Тогда

 

 

Доказательство. Имеем

 

 

Вклад в сумму дают лишь такие пары , что . Поэтому, суммируя по тем парам , для которых  при некотором , получаем

 

 

Если  – характер некоторого представления группы , то назовем   индуцированным характером группы  и скажем, что  индуцирован с . Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .

Пусть  – множество представителей левых смежных классов группы  по :

 

 

Для представления  подгруппы  определим матрицу  так:

 

 

где для , не содержащихся в , полагаем . Это обобщение правого регулярного представления группы . Мы покажем, что

 

 

– представление группы  степени , где , а  – степень . При фиксированных  и  множество  содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по , поэтому среди матриц , лишь одна ненулевая. Аналогично, множество  содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по  и среди матриц , также лишь одна ненулевая. Обозначим -й блок матрицы  через . Тогда

 

Покажем, что . Имеется единственное число , такое, что , и единственное число , такое, что . Если , то . Если же , то  и , поскольку . В любом случае  и следовательно, . Поскольку , матрица  невырожденна. Таким образом  является представлением группы .

Пусть  – характер , а  – характер . Тогда

 

 

Тем самым мы получим . Назовем   индуцированным представлением группы  и будем говорить, что  индуцировано с . Сказанное суммирует следующая

Теорема 5.2. Пусть  – группа и  – ее подгруппа. Пусть  – представление  степени , а  – его характер. Тогда индуцированное представление  имеет степень , где , и характер

 

Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть  – подгруппа в . Пусть  – полный набор неприводимых характеров группы , а  – полный набор неприводимых характеров группы . Тогда

 

в том и только том случае, когда

 

 

Другими словами, если  – неприводимое представление группы , а  – неприводимое представление , то  является неприводимой компонентой в  кратности  тогда и только тогда, когда  является неприводимой компонентой в  кратности .

Доказательство. Пусть  и . В силу леммы 5.1

 

 

Произведение представлений

 

Пусть  – квадратные матрицы порядков  и  соответственно, и пусть . Определим кронекерово, или тензорное, произведение  матриц  и  следующим образом:

 

 

Значит,  представляет собой квадратную матрицу порядка . Непосредственными вычислениями устанавливается следующая

Лемма 6.1.

(1) ,

(2) если  имеют степень , a  – степень , то

Пусть  и  – представления группы . Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение

 

 

также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений  и обозначают через . Пусть  – характеры представлений  соответственно. По лемме 6.1 (1)

 

 

Пусть  – полный набор неприводимых представлений группы , а  – характер . Отображение  также является неприводимым, и его характер – это , где . Пусть .

Теорема 6.2. Равенство

 

 

имеет место тогда и только тогда, когда

 

 

Доказательство.

 

Таким образом, кратность вхождения  в  равна кратности вхождения  в

Теорема 6.3. Пусть  – точное представление группы  и  – его характер. Пусть  – число различных значений, которые принимает  на . Тогда каждое неприводимое представление группы  входит в

 

 

для некоторого , где .

Доказательство. Предположим, что неприводимое представление  не входит в . Пусть  – характеры  и  соответственно. Тогда

 

 

для . Пусть  принимает на  значение . Положим  и . В силу (6.1)

 

 

для  Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для . Поскольку , эта система имеет решение .

Пусть  – степень представления , т.е. . Мы можем считать, что . Покажем, что . Пусть , т.е. . Обозначим через  циклическую группу, порожденную элементом . По теореме 3.3  эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы

 

 

Пусть  – порядок элемента . Тогда . Взяв след в равенстве (6.3), получаем . Это означает, что , т.е. . Плскольку  точно, . Поэтому  и . Полученное противоречие доказывает теорему.

Таблицы характеров. Пусть  – группа и  – классы сопряженных элементов в . Пусть  – нерпиводимые характеры группы , а  – представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения  таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы , в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с , а столбцы – классами сопряженности группы , начиная с класса .

Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы , а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.

Заключение

 

Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Путем прямых вычислений доказали лемму:

 

  для произвольной квадратной матрицы  и теорему: Пусть  – группа и  – ее подгруппа. Пусть  – представление  степени , а  – его характер. Тогда индуцированное представление  имеет степень , где , и характер

 

Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма: ,

 

(2) если  имеют степень , a  – степень , то

 

 

Список использованных источников

 

Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.

Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.

Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195

Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24