Представления конечных групп

 

Представления групп

 

Пусть  – группа всех невырожденных матриц порядка  над полем  комплексных чисел. Если  – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в

 

G ,

 

такой, что

 

,

 

 (единичная матрица),

. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным.

Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы  в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением группы  и обозначается через .

Пример 1.2 Если  – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы  отображение  также является представлением этой группы.

Пусть  и  – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что

,

то представления  и  называются эквивалентными. Тот факт, что представления  и  эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение  определяет классы эквивалентных представлений группы .

Пример 1.3. Пусть  – симметрическая группа степени . Для элемента

 

 

через  обозначим матрицу,  строка которой имеет вид , где 1 стоит на  месте. Другими словами,

 

 

где

 

 

Такое отображение  является точным представлением группы .

1.4. Пусть –конечная группа, состоящая из элементов  и пусть – симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу  подстановку

является инъективным гомоморфизмом группы  в . С такой подстановкой  мы свяжем матрицу

 

 

где, как и в примере ,

 

 

Тогда отображение  является точным представлением группы . Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим  следующим образом:

 

 

Тогда

 

 

и, если , то каждый диагональный элемент равен нулю.

регулярное представление группы  определяется аналогично с использованием гомоморфизма

 

 

Другими словами,

 

Пусть  – некоторый гомоморфизм из  в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку  в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление

Пусть  – представление степени . Говорят, что   приводимо, если существует такая невырожденная матрица , что

 

 

где  и  – квадратные матрицы порядка  и  соответственно, причем  Отметим, что представления

 

 

эквивалентны, поскольку для матрицы

 

Скажем, что представление   неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения  и  являются представлении степеней  и  соответственно.

Для заданных представлений  и  группы  степеней  и  соответственно отображение

 

 

является представление степени  этой группы. Такое, представление называется прямой суммой представлений  и  и обозначается через .

Представление  группы  называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица , такая, что

 

 

где каждое  является неприводимым представлением группы .