Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4).

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

и .

Результирующий ток также будет синусоидален:

.

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

Сдвиг фаз — разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой

2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа

.

Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов, притекающих к любой точке разветвления (узловой точке), равна сумме токов, уходящих от нее.

Второй закон Кирхгофа

второму закону Кирхгофа, во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжения на всех сопротивлениях, входящих в этот контур:

.

Правило составления операторных уравнений по I и II законам Кирхгофа точно такое, как для действительных токов.

Для k-ой ветви, содержащей элементы R, L, C:

.

Операторная запись законов Кирхгофа

Закон Ома для k-й ветви

Последовательное соединение. Особенностью последовательного соединения является то, что во всех его элементах протекает один и тот же ток, и во всем соединении нет ни одного промежуточного узла. При последовательном соединении напряжения на элементах складываются

Параллельное соединение. Особенностью параллельного соединения является то, что ко всем параллельно соединенным ветвям приложено одно и то же напряжение.

При параллельном соединении ветвей токи в ветвях складываются

Соединение «многоугольник». Простейшим соединением «многоугольник» является соединение «треугольник».

Например сопротивления R2, R4, R5 образуют стороны «треугольника» с вершинами A, B, D. Сопротивления R3, R4, R6 образуют стороны «треугольника» с вершинами B, C, D. Ветвь R1 и E1 и ветви R2, R3 тоже являются