Уравнение движения имеет вид

при t = τ, y = 0, тогда

Все три варианта дают одинаковые уравнения движения при t = τ          

Для определения  решим квадратное уравнение

Корень  его не учитываем, так как он не имеет физического смысла.

а) Можно найти максимальную высоту подъема камня, исходя из того, что дискриминант  

Тогда  а максимальное значение

 м;

б) Найти время, по истечении которого камень находится в любой промежуточной точке своего пути.

При ,  имеет два значения, так как в каждой точке камень бывает дважды за время движения.

Задача 5. Найти максимальную высоту подъема и дальность полета снаряда, выпущенного со скоростью 200 м/с под углом 45⁰ к горизонту. Через какое время () снаряд окажется на высоте 40 м?

 

Дано:                                              Решение

= 200 м/с      Выполним чертеж (рис. 1.7).

a = 45⁰

g = 9,8 м/с²

h = 40 м

Н_т -? S_m -?

 -?

 

 

Снаряд участвует в двух движениях: равномерном движении вдоль оси ox со скоростью  и равнопеременном вдоль оси oy с начальной скоростью .

Уравнения движения снаряда: , (  = 0, по горизонтали);

, (  = 0, по вертикали).

Следовательно,

 

.

Так как  а ,

                                           (1.18)

 

где t – время движения снаряда до падения;

 

,                                   (1.19)

 

где t _в – время взлета снаряда.

Найдем время взлета снаряда.

Очевидно, что время взлета равно времени падения, т.е. .

Так как вдоль оси OY движение равнопеременное, то  в верхней точке траектории проекция скорости на ось OY равна нулю, следовательно, .

Откуда

 

.

 

Подставим время взлета во второе равенство:

 

;

; м.

 

Определим дальность полета, для этого общее время движения подставим в равенство (1.18):

.

 м.

Чтобы ответить, когда тело окажется на высоте h, запишем уравнение движения тела вдоль оси OY:

 

.

 

Решим это уравнение относительно t:

 

;

;

;

,

где t ₁ – время взлета тела на высоту h; t ₂ – время, когда тело вновь оказалось на высоте h, уже начав спускаться после прохождения максимальной высоты подъема.

 

 с;

 с.

 

Ответ: Н_т = 1020 м; S _т = 16327 м; t ₁ = 0,3 с; t ₂ = 29 с.

Задача 6. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
φ = 10 + 20 t – 2 t ² рад. Найти: 1) Угловую скорость, угловое ускорение и полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени   = 4 с (рис. 1.8). 2) Через сколько времени тело остановится? 3) Сколько оборотов сделает до остановки?

 

Дано: φ = 10 + 20 t – 2 t 2, рад R = 0,1 м  = 4 c w = 0	Рис. 1.8
-? ε -? a -? t -? N -?

Решение

 

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную от углового пути φ по времени w =   = 20 – 4 t . В момент времени  = 4 c,
 = 20 – 4 · 4 = 4 . Угловое ускорение ε найдем, взяв первую производную от угловой скорости ω по времени ε =   = - 4 . Угловая скорость и угловое ускорение направлены вдоль оси вращения в разные стороны, так как движение равнозамедленное. Полное ускорение точки, движущейся по окружности, равно векторной сумме тангенциального (касательного) ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру окружности  Так как векторы  и  взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения  Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами: , тогда

 

 

Подставляя значения R, ε, ω, получим .

В момент остановки , так как w = 20 – 4 t , то  с, то есть через 5 с после начала движения тело остановится.

Определим, сколько оборотов сделало тело до полной остановки. Угловой путь φ равен  с другой стороны φ = 2 π N, где N – число оборотов. Приравняв эти выражения, найдем N:

Подставляя значения , e, t получим .

Ответ:  = 4 ; e = - 4 ; =1,65 ; t = 5 c; N = 8.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. Движение двух материальных точек выражается уравнениями  = 20 + 2 t – 4 м и  = 2 + 2 t + 0,5 м. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

Ответ: t = 0; 2 ,   = -8 ,  = 1 .

 

Задача 2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям
 = 4 t + 8  – 16 м и  = 2 t – 4   + м. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент.

Ответ: t = 0,235 c;  = 5,1 ,    = 0,286 .

 

Задача 3. Движение материальной точки задано уравнением
x = 4 t – 0,05   м. Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и ускорение точки в этот момент. Построить графики координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

Ответ: t = 40 c; x = 80 м; a = - 0,1 .

Задача 4. Определить скорость и ускорение точки, движущейся по прямой, к концу пятой секунды, если уравнение движения имеет вид
x = 5   + 2   + 8 t, где x – в метрах, t – в секундах.

Ответ:  = 403 , a = 154 .

Задача 5. Скорость частицы, движущейся по прямой, изменяется по закону  = 15  + 4 t + 8 . Определить путь s, который пройдёт частица за время t = 2 с.

Ответ: s = 64 м.

Задача 6*.. Движение точки по прямой задано уравнением
x = 2 t - м. Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от  = 1 c до   = 3 с.

Ответ:

Задача 7. Машинист пассажирского поезда, который шёл со скоростью 30  увидел впереди товарный поезд, идущий на 180 м впереди с постоянной скоростью 9 . Машинист сразу затормозил, причём тормоза вызвали ускорение пассажирского поезда, равное - 1,2 . Произойдёт ли крушение? Реакция машиниста мгновенна.

Ответ: Крушение произойдёт, столкнутся через 15 с.

Задача 8. Поезд тронулся с места и на некотором участке пути двигался равноускоренно с ускорением 0,2 . Определить его скорость в конце второй минуты и путь, пройденный им за это время. Начертить графики координаты, пути и скорости.

Ответ:   = 24 ; s = 1440 м.

 

Задача 9. Самолёт садится на посадочную дорожку длиной 360 м. Какова скорость в момент приземления, если, двигаясь с постоянным отрицательным ускорением, самолёт останавливается в конце дорожки через 30 с после приземления?

Ответ:  = 24 .

 

Задача 10. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1 с?

Ответ: h = 5,51 м.

 

Задача 11. Камень падает с высоты h = 1200 м. Какой путь пройдёт камень за последнюю секунду своего падения?

Ответ: s = 150 м.

 

Задача 12. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью

 = 20 . а) Через сколько секунд камень будет находиться на высоте
h = 15 м? б) Какова будет скорость камня на этой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 .

Ответ:  = 1 c,   = 10  (вверх);  = 3 c,   = -10  (при падении).

 

Задача 13. Вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью  = 20 . Через 1с после этого брошен вертикально вверх второй камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

Ответ: h = 19,2 м.

 

Задача 14*. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте 8,6 м два раза с интервалом 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

Ответ:  = 13 .

 

Задача 15. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью  = 5 . Через 2 с мячик упал на землю. Определить высоту h балкона над землёй и скорость мячика в момент удара о землю.

Ответ: h = 9,6 м;  = -15 .

Задача 16. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью  = 10 . Высота балкона над поверхностью Земли h = 12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю скорость  с момента бросания до момента падения на Землю.

Ответ:  = 6,4 .

 

Задача 17. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через 2 с камень упал на землю на расстоянии 40 м от основания вышки. Определить начальную и конечную скорости камня.

Ответ:  = 20 ;  = 28 .

Задача 18. Тело, брошенное в горизонтальном направлении со скоростью  = 20 , упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем, чем высота башни h. Найти высоту башни.

Ответ: h = 20,4 м.

 

Задача 19*. Тело брошено под углом a к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полёта s в 4 раза больше, максимальной высоты подъёма H.

Ответ: a = 45⁰.

 

Задача 20. Пули пущена с начальной скоростью  = 200  под углом j = 60⁰ к плоскости горизонта. Определить наибольшую высоту подъёма H, дальность полёта s и радиус кривизны R траектории пули в её наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: H = 1530 м; s = 3535 м; R = 1020 м.

 

Задача 21*. Два тела движутся по одной прямой с ускорениями
 = 1 ,  = 3  Некоторую точку А пути второе тело проходит спустя t = 14 с после первого тела в том же направлении. В точке А скорость первого тела  = 22 , скорость второго u_a = 10 . Через сколько времени после прохождения первым телом точки А оба тела столкнутся?

Ответ:  = 51 с (второе тело догоняет первое).

 

Задача 22*. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она возросла на 10 . На сколько она возрастает на втором километре?

Ответ:  = 4,1 .

 

Задача 23*. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и, двигаясь по прямой, проходит первый километр с ускорением , а второй – с ускорением . При этом на первом километре его скорость увеличивается на 10 , а на втором километре – на 5 . Какое ускорение больше:  или ?

Ответ:  = 0,05 ;  = 0,0625 .

 

Задача 24*. Камень брошен вертикально вверх. Какой должна быть его начальная скорость, чтобы подъём на высоту 29,4 м занял 6 с? Как изменится это число, если сократить время подъёма до 3 с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 1)  = 34,3 ; 2)  = 24,5 м.

 

Задача 25*. Ускорение материальной точки изменяется по закону
а = 3 . Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени t = 1 c, если  = 0,  = 0.

Ответ: x = 0,25 м.

 

Задача 26*. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на 1 м меньше высоты, с которой брошен мяч. 1) С какой скоростью был брошен мяч? 2) Под каким углом мяч подлетает к поверхности стенки? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 1)  = 11,1 ; 2) j = .

 

Задача 27*. Камень брошен горизонтально со скоростью  = 15 . Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с после начала движения.

Ответ: a _t = 5,4 ; a _n = 8,2 .

Задача 28. Камень, брошенный со скоростью  = 12  под углом
a = 45⁰ к горизонту, упал на Землю на расстоянии s от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы он упал на то же место при той же начальной скорости ?

Ответ: h = 7,4 м.

 

Задача 29*. Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии 10 км, если начальная скорость снаряда  = 500 ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: a = 11,5⁰ или 78,5⁰.

 

 

Задача 30*. На высоте h = 5000 м летит прямолинейно самолёт с постоянной скоростью  = 100 . В момент, когда самолёт находится над зенитной батареей, производится выстрел. Начальная скорость снаряда

 = 500 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы снаряд попал в самолёт (произошло пересечение траекторий)? б) На какую продолжительность полёта нужно поставить взрыватель, чтобы снаряд разорвался в момент встречи? в) На каком расстоянии от места встречи отстоит батарея?

Ответ: а) a = 78,5⁰; б) t = 11,5 с; в) s = 1150 м.

 

Задача 31. С вершины горы под углом a = 36⁰ к горизонту бросает камень с начальной скоростью  = 5 . Угол наклона горы к горизонту также составляет 36⁰. На каком расстоянии l от точки бросания упадёт камень?

Ответ: l = 6,02 м.

 

Задача 32. Скорость частицы, движущейся по прямой, изменяется по закону  = 3 + 2 t . Определить путь, который частица пройдёт за 1 с.

Ответ: s = 4 м.

Задача 33*. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оставаясь всё время перпендикулярной биссектрисе этого угла, движется по бумаги со скоростью 10 . Концы линейки пересекают стороны начерченного угла. С какой скоростью движутся по сторонам угла точки их пересечения с линейкой.

Ответ:  = 14,1 .

 

Задача 34. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости w = 20  через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Ответ: e  = 3,2 .

 

Задача 35. Маховое колесо спустя t = 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую n = 12 . Найти угловое ускорение колеса и число оборотов за эту минуту.

Ответ: e = 1,26 ; N = 360 об.

 

Задача 36. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300  до 180 . Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Ответ: e = - 0,21 , N = 240 об.

 

Задача 37. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 15 . После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t = 10 с.

 

Задача 38. Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 180 . С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равны 3 . Через сколько времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?

Ответ: а) t = 6,3 с; б) N = 9,4 об.

Задача 39*. Маховик, вращавшийся с постоянной угловой скоростью, соответствующей частоте 10 , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение снова стало равномерным, но уже с частотой 6 . Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

Ответ: e = - 4 ; t = 6,25 с.

 

Задача 40. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением

e = 2 . Через t = 0,5 с после начала движения полного ускорение колеса стало равным а = 13,6 . Найти радиус колеса.

Ответ: R =  м.

 

Задача 41*. Найти угловое ускорение колеса, если через 2 см после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60⁰снаправлением линейной скорости этой точки.

Ответ: e = 0,43 .

 

Задача 42*. Точка движется по окружности радиусом R = 0,2 м с постоянным тангенциальным ускорением а_t = 5 . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение а _n точки будет: а) равно тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального?

Ответ: а) t = 2 с; б) t = 2,8 с.

 

Задача 43. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон движения выражается уравнением s = 8 – 2  м. Определить момент времени t, когда нормальное ускорение точки а _n равно 9 . Найти скорость , тангенциальное а _t и полное а  ускорения точки в тот момент времени t.

Ответ: t = 1,5 c;  = - 6 ; а _t = - 4 ; а = 9,84 .

 

Задача 44*. Точка движется по окружности R = 0,1 м с постоянным тангенциальным ускорением а _t. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала  0,79 .

Ответ: а _t = 0,1 .

 

Задача 45. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается с постоянным угловым ускорением e  = 3,14 . Найти для точек на ободе колесо к концу первой секунды после начала движения: угловую скорость, линейную скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения и угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ: w = 3,14 ;  = 0,314 ; а _t = 0,314 ; а _n = 0,986 ;
а = 1,03 ; a = 17⁰ .

 

Задача 46. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени задана уравнением S = 0,1  см. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна  0,3 .

Ответ: а _n = 4,5 ,  а _t = 0,06 .

 

Задача 47. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению S = 2 м. В какой момент времени t нормальное ускорение а _n точки будет равно тангенциальному а _t? Чему равно полное ускорение а в этот момент времени?

Ответ: t = 0,87 с, а = 14,67 .

 

Задача 48. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением x = 10 – 2 t +  м. Найти тангенциальное а _t, нормальное а _n и полное а ускорения точки в момент времени t = 2 с.

Ответ: а _t = 12 ; а _n = 25 ; а = 27,73 .

 

Задача 49. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением а _t = 0,5 . Определить полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны R = 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью  = 2 .

Ответ: а = 1,42 .

 

Задача 50. По дуге окружности радиусом R = 0,1 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а _n = 4,9 , вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60⁰. Найтискорость  и тангенциальное ускорение а _t  точки.

Ответ:  = 0,7 ; а _t = 8,5 .

 

Задача 51*. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за 3 с опустился на 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус 4 см.

Ответ: e = 8,3 .

 

Задача 52. Диск радиусом 10 см начал вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением e = 0,5 . Каковы были тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения?

Ответ: а _t = 0,05 ; а _n = 0,1 ; а = 0,11 .

 

Задача 53. Диск радиусом 20 см вращается согласно уравнения  
j = 3 – t + 0,1 рад. Определить полное ускорение точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

Ответ: а = 168 .

 

Задача 54. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска  = 3 точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость  = 2 . Сколько оборотов в секунду делает диск?

Ответ: n = 1,6 .

 

Задача 55. Найти радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

Ответ: R = 8,3 см.

Задача 56*. Точка движется по окружности радиусом 10см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 .

Ответ: а _n = 0,01 .

 

Задача 57*. Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением

а = 2 .  Какова угловая скорость w шкива в тот момент, когда груз пройдёт путь 1 м? Каково ускорение точек, лежащих на ободе шкива в этот момент?

Ответ: w = 1 ; а = 0,2 .

 

Задача 58*. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени задана уравнением S = 20 – 2 t + t ² м. Найти линейную скорость точки, её тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 3 с после начала движения, если нормальное ускорение через 2 с было 0,5 .

Ответ:  = 4 ; а _t = 2 ; а _n = 2 ; а = 2,83 .

Задача 59. Колесо радиусом 0,1 м вращается вокруг оси по закону

j = 4 + 2 t +  рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения угловую скорость, линейную скорость, угловое ускорение, тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

Ответ:  = 1,4 ; w = 14 ; e  =12 ; а _t = 1,2 ; а _n = 19,6 ;
а = 20 .

 

Задача 60*. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени задаётся уравнением  = 3 t +