Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Строгое математическое описание движения реальной (вязкой) жидкости требует совместного решения уравнений Навье-Стокса и дифференциальных уравнений неразрывности. Однако общих решений указанной системы уравнений не существует, поэтому в гидравлике используется упрощенный подход – в основу получения уравнения движения потока вязкой жидкости берется уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости, в которое вносятся необходимые коррективы.

В отличие от элементарной струйки поток жидкости имеет конечные размеры сечения, поэтому следует выполнить интегрирование не только вдоль пути элементарной струйки, но и по сечению потока. Необходимо также учесть влияние сил вязкого трения на движение реальной жидкости.

Для элементарной струйки идеальной жидкости:

                                    

Сумма трех видов напора выражает полную удельную механическую энергию жидкости в сечении элементарной струйки. Чтобы определить полную удельную механическую энергию в сечении потока, нужно сложить удельные энергии всех струек в данном сечении (то есть взять интеграл по площади сечения потока):

                                     

Для удобства интегрирования введем понятие мощности потока (или элементарной струйки) в данном сечении. Напор – энергия, отнесенная к единице веса, поэтому мощность – это напор, умноженный на весовой расход (dG = ρ g ∙ dQ = ρ g ∙ υ ∙ dS).

Разделим интеграл на две части:

    - статическая составляющая мощности потока,

    - кинетическая составляющая мощности потока.

 

     Рассмотрим первую часть интеграла:

                                     

 

В покоящейся жидкости для любой точки сечения (в том числе и для центра тяжести) справедлив основной  закон гидростатики:

 

p + ρgz = const

Есть теоретическое обоснование того, что для ламинарного потока этот закон справедлив; опыт показал, что данный закон можно использовать и для турбулентных потоков.

 Отсюда, выполняя интегрирование и переход к статической составляющей напора потока, получим:

 

                      

 

Рассмотрим вторую часть интеграла, имея в виду, что dQ = υ · dS:

 

                              

 

где K _Д - действительная кинетическая составляющая мощности потока.

Поскольку закон распределения местных скоростей по сечению турбулентного потока теоретически не определен, заменим реальное неравномерное распределение условным равномерным (используем понятие средней скорости):

 

                                 

 

     где К_у - условная кинетическая составляющая мощности потока.

Мощности потока, рассчитанные для реального и условного распределения местных скоростей, неодинаковы. Введем коэффициент α, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению потока (коэффициент Кориолиса):

                                               

 (для ламинарного потока α = 2, для турбулентного - около 1,1). Отсюда   

                                        

Определим действительную кинетическую составляющую напора потока (учитывая, что υ _cp · S = Q):

 

                             

 

При записи уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости также необходимо учесть, что при переходе жидкости от одного сечения к другому часть удельной механической энергии потока расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений (трение, вихреобразование и т.д.), переходит в тепловую энергию и рассеивается в окружающую среду. Поэтому уравнение следует записать для двух произвольных сечений:

 

                       ,

 

где индексы i и j – номера сечений; z_i и z_j – геометрические напоры (высоты расположения центров тяжести сечений относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения); p_i и p_j – давление в центре тяжести сечений; α _i и α _j – коэффициенты Кориолиса; υ _i и υ _j – средние скорости в соответствующих сечениях; ∆ h_{i - j} – потеря напора, затраченная на преодоление гидравлических сопротивлений на пути движения жидкости от сечения i к сечению j.

Уравнение Бернулли является основным при выводе многих расчетных формул гидравлики.