Лемма 2 (о двух альтернативах)

Если число альтернатив равно 2 и процедура удовлетворяет свойствам монотонности, анонимности, нейтральности, то при

будет выполняться .

Доказательство.

В силу выполнения анонимности и нейтральности выбор  зависит только от  и общего количества мест к распределению для альтернатив . По монотонности  не убывает по  при различных . При

из

следует .■

Если число распределяемых мест нечетно, а голоса разделились поровну, то процедура может дать множество решений. Если число мест четно, а голоса разделились поровну, то процедура, удовлетворяющая свойствам монотонности, анонимности, нейтральности распределит места поровну.

Из Леммы 2 можно получить следующие следствия.

Следствие 1.

Если процедура удовлетворяет свойствам независимости от посторонних альтернатив, монотонности, анонимности, нейтральности, то победитель Кондорсе получит наибольшее число мест.

Доказательство.

Так как свойство независимости от посторонних альтернатив выполнено, то для определения соотношения между  и , где , достаточно рассмотреть

.

Это позволяет воспользоваться результатами Леммы 2. Если альтернатива x является победителем Кондорсе, то

,

из чего следует, что . Победитель Кондорсе набирает наибольшее количество мест.■

Следствие 2.

Если процедура удовлетворяет свойствам независимости от посторонних альтернатив, монотонности, анонимности, нейтральности и ненавязанности, то из

следует .

Доказательство.

В силу свойства независимости от посторонних альтернатив распределение мест между любыми двумя альтернативами зависит только , . По анонимности и нейтральности выбор  может зависеть только от  и общего количества мест к распределению для альтернатив .

Так как процедура является ненавязанной, то должен существовать профиль, при котором все места достанутся партии . Если при некотором профиле предпочтений партия  получает все, а партия  ничего, то по монотонности это распределение сохранится и при профиле, где

.■

Теорема 2 (о невозможности)

Для  и  не существует процедур, одновременно удовлетворяющим свойствам монотонности, нейтральности.

Доказательство.

Рассмотрим профиль для .

По лемме 1 из

следует

 и .

Аналогично получим

 и .

Таким образом

,

что приводит к

.

Это условие невыполнимо при S не кратном 3.■

Полученный результат является аналогом теоремы о невозможности Эрроу, которая была доказана для мажоритарных процедур агрегирования. Проблему возникающей данного типа невозможности можно описать следующим образом. Если структура политических предпочтений общества изменяется, то не существует системы пропорционального представительства, использование которой могло бы адекватно отразить это изменение. Например, популярность социалистических идеалов в обществе может падать, а представительность партий, разделяющих эту идеологию, может не уменьшаться. Другим примером является распределение мест в совете директоров пропорционально голосующим акциям. Использование одной и той же процедуры так же неизбежно исказит представительство по сравнению с реальными изменениями в структуре собственников голосующих акций.

Как и в случае с теоремой Эрроу напрашиваются разные пути получения положительного решения задачи. Одним из таких путей является использование вероятностных методов распределения мест. Однако, это не самый удачный способ решения проблемы из-за возникновения неопределенности (партия получает место с некоторой вероятностью), что недопустимо в реальных системах пропорционального представительства. Другим возможным решением проблемы невозможности является ослабление аксиом, что, по аналогии с эрроувскими моделями [4], приведет к расширению и, возможно, описанию новых классов процедур пропорционального представительства.

 

 

Список использованной литературы

 

1. Алескеров Ф.Т., Ортешук П. Выборы. Голосование. Партии. М., 1995.

2. Эрроу К. Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. – М.: ГУ-ВШЭ, 2004.

3. Aizerman M., Aleskerov F. Theory of Choice, Elsevier: North-Holland, 1995

4. Aleskerov F. Categories of Arrovian Voting Schemes // Handbook of Economics 19, Handbook of Social Choice and Welfare, v.1 / K.Arrow, A.Sen, K.Suzumura (ed.). Elsevier Science B.V., 2002, P. 95-129.

5. Aleskerov F., Cinar Y. ‘q-Pareto Scalar’ two-stage extremization model and its reducibility to one stage model // Theory and Decision, 2008. Vol. 65. P. 325-338.

6. Balinski M., Ramirez V. Parametric methods of apportionment, rounding and production // Mathematical Social Studies, 1999. Vol. 37. P. 107-122.

7. Balinski M., Young P. Apportionment schemes and the quota method // The American Mathematical Monthly, 1977. Vol. 84 No. 6. June-July. P. 450-455

8. Balinski M., Young P. Stability, Coalitions and Schism in proportional Representation Systems // The American Political Science Review, 1978. Vol. 72. P. 848-858.

9. Balinski M., Young P. The Jefferson method of Apportionment // SIAM Review, 1978. Vol. 20, No. 2, April. P. 278-284

10. Balinski M., Young P. Criteria for proportional Representation // Operations Research, 1979. Vol. 27 No. 1. January – February. pp. 80-95

11. Balinski M., Young P. Fair representation: Meeting the Ideal of One Man, One Vote. New Haven, CT: Yale University Press, 1982.

12. Geanakoplos J. Three brief proofs of Arrow’s impossibility theorem // Cowles Foundation Discussion Paper, 2004. 1123RRRR.

13. Grilli di Cortona P., Manzi C., Pennisi A., Ricca F., Simeone B. Evaluation and Optimization of Electoral Systems. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999.

14. Hoag C.G., Hallett G.H. Proportional representation. New York: The Macmillan Company, 1926.

15. Lijphart A. Electoral Systems and Party Systems. A Study of Twenty-Seven Democracies 1945-1990. Oxford University Press, 1994.

16. Maier S., Pukelsheim F. Bazi: A Free Computer Program for Proportional Representation Apportionment // Preprint Institut f¨ur Mathematik. Universit¨at Augsburg. Nr. 042/2007 — 11. December 2007.

 

 

Impossibility theorem in proportional representation problem

Karpov A.V.

Tel. 8-905-7006693

 

The paper examines the new axiomatics of proportional representation methods. The first part of the paper describes main proportional representation procedures and general axiomatics of Balinski and Young. The second part of the paper provides new axiomatics based on rational choice models. It is shown that there is no method satisfying a minimal set of the axioms.

 

[1] Метод, принимающий число количество партий и число мест как заданные параметры и оперирующий только числом голосов.