Теорема 1 (о невозможности) (Балински Янг, 1982)

При ,  не существует частного метода (partial method[1]), одновременно удовлетворяющего свойствам монотонности по числу голосов и близости к квоте.

Доказательство.

Рассмотрим вектор точных квот , где  натуральные числа, их сумма равна  и . Пусть  - некоторое распределение мест, тогда  и . По монотонности получим, что .

Теперь рассмотрим другое распределение точных квот . Пусть  - некоторое распределение мест. По свойству близости к квоте , ,  для . Тогда либо партия 3, либо партия 4 должна иметь одно место. По монотонности по числу голосов это должна быть партия 4.

Таким образом , , по монотонности по числу голосов должно выполняться , то есть  или , что не выполняется для достаточно малых .■

Заметим, что при ослаблении условий с требования монотонности по числу голосов до монотонности по числу мест такой метод находится, это метод квоты.

 

7. Свойства систем пропорционального представительства
 в терминах рационального выбора

 

Опишем аксиоматику систем пропорционального представительства в терминах рационального выбора. Часть свойств будут повторять аксиоматику систем пропорционального представительства, только будут даны в другой терминологии[6], часть свойств расширены, некоторые трансформированы из классической теории выбора [3, 4, 5].

Свойства

1 Независимость от посторонних альтернатив.

Для любого разбиения альтернатив на  выбор останется неизменным

(22)          .

Это свойство напоминает свойство согласованности, но значительно отличается от него тем, что при разбиении изменяются первые альтернативы избирателей.

Свойства анонимность, нейтральность, единогласие, монотонность и ненавязанность [2, 12] являются модификацией условий из теоремы Эрроу о невозможности.

Единогласие

Если , то .

3. Монотонность

Если , то , .

4. Ненавязанность

.

5. Анонимность

Выбор не зависит индекса участника  в профиле .

6. Нейтральность

Выбор основывается только на предпочтениях и не зависит от других характеристик партий. В классической аксиоматике систем пропорционального представительства это свойство называется симметричность.

7. Условие отбрасывания.

Если исключить партии, не получившие места, то распределение не должно измениться.

8. Согласие Модифицированное

 из  следует .

Таблица 10. Свойства систем пропорционального представительства.

	1	2	3	4	5	6	7	8
Квота Хара	-	+	-	+	+	+	-	-
Квота Друпа	-	+	-	+	+	+	-	-
Другие методы наибольших остатков	-	+	-	+	+	+	-	-
Метод д’Ондта	-	+	-	+	+	+	-	+
Метод Сент-Лаге	-	+	-	+	+	+	+	+
Датская система	-	+	-	+	+	+	-	+
Среднее геометрическое	-	+	-	+	+	+	+	+
Среднее гармоническое	-	+	-	+	+	+	+	+
Наименьший делитель	-	+	-	+	+	+	+	+
Другие методы делителей	-	+	-	+	+	+	+/-	+
Метод квоты	-	+	-	+	+	+	+	+
Правило передачи голосов	-	+	-	+	+	+	+	+

Выполнение седьмого свойства для методов делителей зависит от значения первого делителя. Если он равен нулю, то есть, хотя бы по одному месту достаётся каждой партии, то свойство выполняется, в противном случае методы делителей этому свойству не удовлетворяют. Выполнение восьмого свойства во многом зависит от свойства монотонности по числу голосов. Классическое свойство согласия практически теряет смысл, так как оно не выполнимо для традиционных методов пропорционального представительства.

Лемма 1

Пусть , выполняется монотонность, нейтральность, тогда  и .

Доказательство.

Рассмотрим профиль , в котором альтернативы x, y стоят на месте альтернатив t, z, соответственно, тогда

.

Из свойства монотонности следует

 и .

Согласно нейтральности представительство должно сохраниться независимо от названий альтернатив, тогда

 и .

Из этого следует, что

 и .■