Основной алгоритм исследования функций для построения их графиков.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить является ли функция четной (нечетной), периодической.

3. Найти (если это возможно) точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти производную и критические точки.

5. Определить промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.

6. Установить характер поведения функции на концах промежутков области определения.

7. Определить участки выпуклости и вогнутости функции.

8. Найти асимптоты функции, если они имеются.

9. На основании проведенного исследования нарисовать график функции.

Очевидно, что приведенные в разделе I теоремы являются основным инструментом для проведения исследования функции. Действительно.

Первые два пункта проверяются по определению.

Чтобы найти точки пересечения заданной функции с осями координат необходимо найти значения функции при х=0 (пересечение с осью 0 Y) изатем решить уравнение  (если это возможно). Это определит точки пересечения оси 0Х.

В соответствии с теоремой Ферма поиск экстремальных точек связан с поиском производной функции и решением уравнения . Кроме того, наибольшие и наименьшие значения могут достигаться в точках, где производная не существует.

Промежутки возрастания и убывания определяются по знаку производной (второе следствие из теоремы Лагранжа).

Характер поведения функции в краевых точках устанавливается вычислением соответствующих пределов.

В соответствии с определением выпуклых вниз и вверх функций и формулой Тейлора участки выпуклости и вогнутости определяются знаком второй производной заданной функции, а точки, в которых происходит изменение направления выпуклости, называются точками перегиба и в этих точках вторая производная равна 0 или не существует. Действительно, если функция дважды дифференцируема, то в окрестности этой точки можно записать формулу Тейлора в виде

Перепишем это выражение в так

В левой части этого равенства стоит разность значения функции и ординаты точки, лежащей на касательной в точке  . Очевидно, что знак этой разности определяется знаком второй производной. Там, где  функция выпукла вниз (график находится над касательной) и если , то функция выпукла вверх (график находится под касательной). Переходя в последней формуле к пределу при  и предполагая существование второй производной в точке , нетрудно установить, что  в точке перегиба (или вторая производная не существует).

Асимптота, по определению, это прямая, к которой приближаются значения функции при , то есть  или . Из последнего равенства находим  и .

Собрав всю полученную информацию о заданной функции, строится ее график.

Рассмотрим конкретные примеры.

1. Построить график функции

1.1. Область определения D=R.

1.2. . Функция четная, а значит, график симметричен относительно оси 0Y. Не периодическая.

1.3.  решаем это уравнение, то есть  Это уравнение не имеет решение. Таким образом, ось 0Y пересекается в точке (0,3), ось абсцисс не пересекается графиком заданной функции.

1.4.  Производная равна 0 при х=0. При Следовательно функция убывает при

1.5. При Значит функция возрастает и точка (0,3) является точкой максимума.

1.6. Найдем

1.7. Решаем уравнение вида , тогда получаем или . Точка (1, f (1)) является точкой перегиба. Очевидно, при х<1  и функция выпукла вверх, а при х>1 - выпукла вниз.

1.8. Находим асимптоты

. Таким образом, имеется асимптота y =0. Теперь легко можно нарисовать график функции: